معادلة الخط المستقيم: من نقطتين إلى الميل والمقطع

احسب الميل مع المحافظة على الترتيب

للنقطتين (x₁,y₁) و (x₂,y₂) مع اختلاف الإحداثي x، نحسب m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁). خذ البسط والمقام بالترتيب نفسه. عكس ترتيب النقطتين في كليهما لا يغير الميل؛ عكسه في أحدهما فقط يغير الإشارة. ^[1]

مثلًا للنقطتين (1,2) و (5,8) نجد m=(8−2)/(5−1)=6/4=3/2. يعني ذلك زيادة 3 في y لكل زيادة 2 في x على هذا الخط. الميل ليس ارتفاع النقطة الثانية وحده ولا نسبة 8 إلى 5.

استخرج المقطع الصادي

نعوض بالمعلومة y=mx+b وبالنقطة (1,2): 2=(3/2)·1+b. إذن b=1/2، والمعادلة y=(3/2)x+1/2.

نتحقق بالنقطة الثانية: عند x=5 يصبح y=15/2+1/2=8. وبالأولى يعطينا 2. المقطع الصادي هنا هو نقطة تقاطع الخط مع محور y، أي (0,1/2)، وليس الميل. ^[1]

ويمكن العثور على المقطع السيني بجعل y=0: 0=(3/2)x+1/2، فنحصل على x=−1/3. نقطتا تقاطع المحورين قد تكونان خارج الجزء المرئي من أي رسم مختصر؛ المعادلة تظل تحددهما.

الصيغ المختلفة تمثل الخط نفسه

صورة النقطة والميل تستخدم نقطة معلومة مباشرة. بالتوزيع والترتيب تتحول إلى صورة الميل والمقطع، ولا تنتج خطًا جديدًا. وللحصول على الصورة العامة ضربنا المعادلة في 2 ونقلنا الحدود. ^[1]

الصورة العامة Ax+By+C=0 تفترض ألا يكون A و B كلاهما صفرًا لتمثل مستقيمًا. ضرب المعادلة كلها بثابت غير صفري يغير المعاملات ويترك مجموعة نقاط الخط نفسها. لا تغير حدًا واحدًا وحده وتفترض التكافؤ.

الخط الرأسي مختلف عن الأفقي

إذا كانت نقطتان مختلفتان لهما x نفسه، يكون الخط رأسيًا: مثلًا (4,1) و (4,7) تعطيان x=4. مقام صيغة الميل صفر، لذا الميل غير معرف ولا نعوضه بصفر. هذا الخط لا يمثل y كدالة واحدة في x، لأن للمدخل 4 قيم y كثيرة. ^[2]

أما الخط الذي يمر بـ (1,−2) و (6,−2) فأفقي: y=−2 وميله 0. فرق y صفر ومقام الفرق 5، لذلك لا تواجه الصيغة قسمة على صفر. ^[2]

ونقطة واحدة لا تحدد مستقيمًا وحيدًا دون ميل أو شرط إضافي. كما أن تكرار النقطة نفسها مرتين لا يصنع نقطتين مختلفتين صالحتيْن لهذا الحل.

فحص نقطة ومراجعة الإشارة

لتختبر وقوع (3,5) على مستقيم المثال، عوض: 3·3−2·5+1=0. تقع عليه. أما (3,4) فتعطي 2 ولا تقع عليه. اختيار الرسم وحده قد يخدعك إذا كانت العلامات كبيرة أو المحاور غير واضحة.

لخطوط متناقصة يكون الميل سالبًا عند زيادة x، وللأفقية صفرًا. راجع أن اتجاه الرسم يناسب الإشارة، ثم افحص التعويض بالنقطتين الأصليتين. هذه مراجعة للحساب وليست قياسًا لميل الخط من شكل الصورة.