معادلة الدائرة: استخراج المركز ونصف القطر وفحص النقاط

لماذا تظهر مربعات الفروق؟

المسافة من المركز (h,k) إلى النقطة (x,y) تعطينا r²=(x−h)²+(y−k)² باستعمال مثلث قائم فرقاه الأفقي والرأسي هما فروق الإحداثيات. معادلة الدائرة هي شرط أن يبقى هذا البعد r نفسه لكل نقطة على المحيط. ^[1]

المعادلة تصف المحيط، لا جميع النقاط الداخلية. لقرص الدائرة المملوء نستخدم المتباينة (x−h)²+(y−k)²≤r² مع نصف قطر موجب. هذا اختلاف في مجموعة النقاط التي نحسبها.

اكتب المعادلة من المركز ونصف القطر

للمركز (−2,1) ونصف القطر 5، نعوض h=−2 و k=1 فنحصل على (x+2)²+(y−1)²=25. علامة الجمع داخل القوس الأول جاءت من طرح −2، وليست لأن المركز موجب.

إذا كانت المعادلة المعطاة (x−4)²+(y+3)²=49، فالمركز (4,−3) ونصف القطر 7. لا تجعل المركز −4 و 3، ولا تجعل نصف القطر 49؛ الطرف الأيمن هو مربع نصف القطر. ^[1]

مثال من الصورة العامة إلى القياسية

نبدأ بـ x²+y²+4x−2y−20=0. ننقل الثابت ونرتب: (x²+4x)+(y²−2y)=20.

لإكمال المربع نضيف 4 للمجموعة الأولى و 1 للثانية، ونضيف المقدار نفسه إلى الطرف الأيمن: (x²+4x+4)+(y²−2y+1)=20+4+1.

تصبح (x+2)²+(y−1)²=25. إذن عدنا إلى دائرة المركز (−2,1) ونصف القطر 5. إضافة القيم داخل الأقواس دون إضافتها للطرف الآخر كانت ستغير مجموعة الحلول. طريقة إكمال المربع تدعمها الصورة العامة في المرجع. ^[1]

هل تقع النقطة على الدائرة؟

للنقطة (1,5) في دائرة المثال نحسب (1+2)²+(5−1)²=3²+4²=25. تساوي الطرفين يثبت أنها على المحيط. مثلث الرسم يوضح أن بعدها عن المركز 5.

وللنقطة (−1,2) يكون المجموع 1²+1²=2، وهو أصغر من 25، فتقع داخل الدائرة. وللنقطة (4,1) يكون 6²+0²=36، فتقع خارجها.

هذه المقارنة تستعمل مربع البعد، فلا نحتاج إلى استخراج جذر كل مرة. لكنها تفترض أن المركز ونصف القطر مأخوذان من الدائرة نفسها وأن الإحداثيات في النظام نفسه.

متى لا تعطي الصيغة دائرة حقيقية؟

إذا وصلت إلى (x−h)²+(y−k)²=0 فالحل نقطة المركز وحدها، وهي حالة منحلة. وإذا كان الطرف الأيمن سالبًا، فلا توجد نقاط حقيقية تحقق المعادلة، لأن مجموع مربعين غير سالب. ^[2]

وفي الصورة العامة ينبغي فحص المعاملات أولًا. وجود x² و y² لا يكفي وحده: اختلاف معامليهما أو وجود حد xy قد يشير إلى قطع آخر أو دوران. مثال 4x²+4y²=36 يمكن قسمته على 4 فيصبح نصف القطر 3، أما 4x²+y²=36 فليس دائرة على محاور متساوية المقياس. ^[2]

اقرأ المعادلة كاملة، واكتبها في صورة قياسية صحيحة، ثم سجل المركز و r الموجب. عند الشك اختر نقطة سهلة وتحقق من بعدها، لأن اختبار الإشارات بالتعويض أوضح من حفظها منفصلة.