مثلث باسكال: بناء الصفوف وقراءة معاملات ذات الحدين

كيف نبني الصفوف؟

ضع 1 في الأعلى وعند طرفي كل صف. ابنِ الداخل بجمع العددين فوقه؛ أول أربعة صفوف هي 1، ثم 1,1، ثم 1,2,1، ثم 1,3,3,1. ^[1]

نسمي القمة هنا الصف 0، ولذلك يحوي الصف n عددًا من العناصر يساوي n+1. الاتفاق على الترقيم يمنع الخلط بين «الصف الثالث» و«صف القوة الثالثة». ^[2]

في بناء الصف الخامس من الرابع مثلًا، نجمع 4+6=10 ثم 6+4=10. نحصل على 1,5,10,10,5,1؛ تماثل القراءة من الطرفين ظاهر في هذه الأعداد.

المعامل ليس الحد كله

لأس صحيح غير سالب، يعطي الصف n معاملات (a+b)ⁿ. تنخفض قوة a وتزداد قوة b، مع بقاء مجموع الأسين n. ^[1][2]

المعامل 3 في الصف الثالث لا يعني أن الحد كله يساوي ثلاثة. يلزم جمعه مع القوى والعوامل الموجودة في المقدار الأصلي، بما فيها الإشارة السالبة.

مثال أصلي: نشر مقدار فيه إشارة سالبة

نختار (3u−4v)³ ونقرأ 1,3,3,1. نعامل الحد الثاني بوصفه −4v، لا 4v. الحساب مفصل فيما يأتي:

إذن (3u−4v)³ = 27u³−108u²v+144uv²−64v³. وللفحص عند u=2 و v=1، يكون الأصل (6−4)³=8، والمفكوك 216−432+288−64=8. توافق القيم لا يغني عن النشر، لكنه يساعد على اكتشاف إشارة خاطئة.

قراءة معامل واحد ومجموع صف

يحسب معامل الموضع k في الصف n، عند ترقيم المواضع من الصفر، من C(n,k) = n!/[k!(n−k)!]. الرمز ! يعني المضروب، ونستعمل 0! = 1. ^[2][3]

في مثال مستقل، C(9,3)=9×8×7/(3×2×1)=84. لا نحتاج كتابة الصف التاسع كاملًا للحصول على هذا المعامل.

وفي الصف الخامس، المجموع 1+5+10+10+5+1=32. يعطينا وضع a=b=1 في المفكوك (1+1)⁵=2⁵=32؛ هذا فحص آخر للصف المختار. ^[2]

ملاحظة تمنع قاعدة مضللة

لا تجمع أرقام الصف بكتابتها متلاصقة لتزعم أنها تعطي دائمًا قوة العدد 11. الصف الخامس في ترقيمنا هو 1,5,10,10,5,1، بينما 11⁵=161051؛ الكتابة المتلاصقة 15101051 ليست هذه القيمة.

عند النشر اكتب العوامل والأسس والإشارات، ثم اجمع الحدود المتشابهة؛ معاملات الصف ليست الحدود كاملة.