قسمة عدد على صفر غير معرفة في الحساب الحقيقي المعتاد. لا نكتب الناتج «مالانهاية»؛ فوجود نهاية غير محدودة لدالة قرب نقطة مسألة مختلفة عن إجراء القسمة عند تلك النقطة. [1][2]
اختبر القسمة بعكسها: الضرب
لو كان 7/0=c لوجب أن يكون 0×c=7. لكن ضرب أي عدد حقيقي في صفر يعطي صفرًا، فلا يوجد c يحقق هذا الشرط. [1]
وفي 0/0 يقبل الشرط 0×c=0 جميع الأعداد، فلا يختار خارجًا واحدًا. عدم تعين الخارج هنا لا يعطي قيمة حسابية. [1]
صفر على عدد غير صفري يساوي صفرًا
للمقام غير الصفري 0/a=0. أما المقام الصفري فيجعل القسمة غير معرفة مهما كان البسط؛ موضع الصفر هو الفارق. [1]
لفحص مثال مختار: 0/(−9)=0 لأن (−9)×0=0. أما (−9)/0 فلا يوجد عدد حاصل ضربه في صفر يساوي −9. لا تحول عبارة «القسمة على صفر ممنوعة» إلى منع الصفر في البسط أيضًا.
مثال قرب الصفر: اتجاهان مختلفان
نختار f(x)=7/x، مع x≠0. الجدول يحسب قيمًا مسموحة على الجانبين، لا قيمة عند الصفر:
| x المسموح | 7/x |
|---|---|
| −1 | −7 |
| −0.1 | −70 |
| −0.01 | −700 |
| 0.01 | 700 |
| 0.1 | 70 |
| 1 | 7 |
مع اقتراب x من الصفر موجبًا، تزيد القيم الموجبة دون حد؛ ومع اقترابه سالبًا، تقل القيم السالبة دون حد. نكتب في المثال limₓ→₀⁺ 7/x = +∞ و limₓ→₀⁻ 7/x = −∞. الإشارتان مختلفتان، ولا توجد نهاية حقيقية واحدة من الجهتين.
رمز النهاية غير المحدودة يصف القيم المجاورة، ولا يعرف قيمة الدالة في النقطة. ولوجود نهاية حقيقية من الجهتين يجب أن تتفق النهايتان الأحاديتان على تلك القيمة. [2]
هل صورة 0/0 تعني أن كل نهاية غير موجودة؟
عند محاولة التعويض في مسألة نهاية قد تظهر صورة 0/0. تسميتها «غير معينة» تعني أن شكل التعويض وحده لا يحدد النهاية؛ يلزم تحليل الدالة، ولا نجري قسمة حسابية بين صفرين. [3]
نختار g(x)=(x²−16)/(x−4). عند x=4 الأصل غير معرف. لكن لكل x≠4 نحلل البسط إلى (x−4)(x+4)، فيساوي الخارج x+4. مثلًا g(3.9)=7.9 و g(4.1)=8.1.
ولهذا limₓ→₄ g(x)=8، رغم أن g(4) غير معرف. الدائرة المفرغة في الرسم تميز النقطة الناقصة من النقاط القريبة؛ الاختصار مشروط بعدم مساواة x للقيمة 4، فلا يعيد النقطة المحذوفة إلى مجال الأصل.
لو عرفنا دالة جديدة تساوي 8 عند 4، لملأنا الفجوة بتعريف جديد. لا يكون هذا إثباتًا أن 0/0=8؛ إنه تغيير للدالة في موضع كان بلا قيمة.
ثلاثة أسئلة مختلفة
في الحساب اسأل: هل المقام صفر؟ وفي النهاية اسأل: ماذا تفعل القيم قرب النقطة من كل جهة؟ وعند الاختصار اسأل: هل حذفت عاملًا يمكن أن يساوي صفرًا، وهل أبقيت شرط المجال؟
ارتفاع فرع الرسم لا يعرف قيمة عند الصفر. وتعذر التعويض المباشر في المثال الثاني لا يلغي النهاية المحسوبة.
المصادر ومتابعة القراءة
- OpenStax: الضرب بالصفر والقسمة عليه (يفتح في نافذة جديدة)openstax.org
- OpenStax: النهايات من الجهتين والنهايات غير المحدودة (يفتح في نافذة جديدة)openstax.org
- OpenStax: معنى صورة 0/0 عند حساب النهايات (يفتح في نافذة جديدة)openstax.org
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.