شرح الأسس النسبية يبدأ بقراءة الكسر في الأس: المقام يحدد رتبة الجذر، والبسط يحدد القوة. للأساس الموجب مثلًا a^(m/n)=(ⁿ√a)^m. لذلك الأس الكسري لا يعني قسمة الأساس على الكسر، بل كتابة علاقة بين قوة وجذر. وعند وجود صفر أو أساس سالب نحتاج فحص التعريف قبل الحساب. [1][2]
اقرأ الجذر ثم القوة
في 216^(2/3) يدل المقام 3 على الجذر التكعيبي، ويدل البسط 2 على التربيع. الجذر التكعيبي 216 هو 6 لأن 6³=216، ثم 6²=36. الناتج 36، وليس 216 مضروبًا في 2/3.
يمكن أيضًا كتابة ⁿ√(a^m) للأساس الموجب، لكن أخذ الجذر أولًا قد يسهل الأعداد. الرمز a^(1/n) يمثل الجذر الرئيسي من الرتبة n عندما يكون معرّفًا في الأعداد الحقيقية. [1][2]
في نموذج المكعب، الحجم 216 وحدة³ يقابله ضلع 6 وحدات ووجه مساحته 36 وحدة². هذا النموذج يفسر هذا الأس للعدد الموجب؛ لا يجعل جميع الأسس الكسرية مساحات هندسية.
أمثلة متدرجة
| التعبير | خطوة الجذر | النتيجة |
|---|---|---|
| 81^(3/4) | الجذر الرابع 81 يساوي 3 | 3³=27 |
| (27/8)^(2/3) | الجذر التكعيبي 27/8 يساوي 3/2 | (3/2)²=9/4 |
| 16^(-3/4) | الجذر الرابع 16 يساوي 2 ثم مكعبه 8 | 1/8 |
في المثال الثالث تعني إشارة الأس السالبة أخذ مقلوب القيمة الناتجة، لا جعلها سالبة. لذا 16^(-3/4)=1/(16^(3/4)). لا نستخدم هذا المقلوب عند أساس صفري، لأنه سيقسم على صفر. [1]
قوانين التبسيط للأساس الموجب
مع أساس موجب، نجمع الأسين في ضرب قوتين للأساس نفسه، ونطرحهما في القسمة. مثلًا 25^(1/2)×25^(3/2)=25²=625، و 32^(7/5)/32^(2/5)=32¹=32. الشرط هنا تشابه الأساس؛ لا يلزم تساوي الأسين. [1]
وعند رفع قوة إلى قوة نضرب الأسين: (9^(1/2))^(3/2)=9^(3/4). إذا اختلف الأساس والأس معًا، لا تطبق جمع الأسس كأنه قانون لأي ضرب. احتفظ بالأقواس كي يظهر ما الذي رُفع إلى القوة. [2]
الأساس السالب يحتاج كسرًا مختزلًا
في التعريف الحقيقي المعتاد نكتب الأس النسبي في أبسط صورة. الجذر الفردي يقبل عددًا سالبًا، أما الجذر الزوجي فلا يعطي عددًا حقيقيًا لعدد سالب. مثلًا (-32)^(3/5)=(-2)³=−8، لأن المقام المختزل 5 فردي. [2][3]
في المقابل (-16)^(1/4) ليس عددًا حقيقيًا. لا تحول الكسر 1/3 إلى 2/6 ثم تأخذ جذرًا سادسًا لعدد سالب؛ الكسر المختزل والتعريف يسبقان تبديل شكل الرمز.
ولا تنقل كل قانون للقوى بلا فحص: ((-8)^(2/3))^(3/2)=4^(3/2)=8، بينما (-8)^1=−8. ضرب الأسين في هذا التعبير المتداخل سيغير النتيجة. هذا مثال مضاد محسوب يبين لماذا اعتمدنا الأساس الموجب عند عرض قوانين التبسيط.
الصفر والإشارة خارج القوس
لأي أس نسبي موجب، صفر مرفوع إلى هذا الأس يساوي صفرًا في التعريف المعتاد. أما الأس النسبي السالب على صفر فلا يعرف لأنه يتطلب مقلوب الصفر. ولا نستعمل 0⁰ في هذه القواعد المدرسية.
كذلك −16^(1/2) يعني سالب الجذر التربيعي 16، أي −4، بينما (-16)^(1/2) لا يمثل عددًا حقيقيًا. الأقواس تحدد هل الإشارة جزء من الأساس أم خارج عملية الرفع. [1][3]
تدريب قصير مع تحقق
احسب 243^(2/5) و (64/125)^(-1/3) و 49^(5/2)/49^(3/2). الإجابات على الترتيب 9، و 5/4، و 49. في الأول الجذر الخامس 243 هو 3؛ في الثاني الجذر التكعيبي 64/125 هو 4/5 ثم نأخذ مقلوبه؛ وفي الثالث نطرح الأسين فنحصل على الأس 1.
ابدأ باختزال الأس وقراءة المقام، ثم تحقق من الإشارة والصفر. اختر الصيغة الجذرية أو الأسية التي تجعل الحساب أسهل، مع المحافظة على المجال نفسه.
المصادر ومتابعة القراءة
- OpenStax: تعريف الأس النسبي والأس السالب (يفتح في نافذة جديدة)openstax.org
- OpenStax: الجذور والأسس النسبية وكتابة الكسر في أبسط صورة (يفتح في نافذة جديدة)openstax.org
- OpenStax: شروط الجذور الزوجية والفردية الحقيقية (يفتح في نافذة جديدة)openstax.org
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.