خصائص اللوغاريتمات: قواعد الضرب والقسمة والقوة وشروطها

الشروط تسبق تطبيق القاعدة

نكتب log_b(x)=y بمعنى b^y=x، مع b>0 و b≠1 و x>0 في الأعداد الحقيقية. مثلًا log_3(81)=4 لأن 3⁴=81، و log_3(1/9)=−2 لأن 3⁻²=1/9. ^[2]

عند التعامل مع قاعدتي الضرب والقسمة الآتيتين نشترط أن M و N موجبان، وأن الأساس واحد في جميع الحدود. لا تطبق جدولًا محفوظًا على لوغاريتمات بأساسات مختلفة كأنها متشابهة. ^[1]

قواعد الضرب والقسمة والقوة

القواعد مرتبطة بخواص الأسس: ضرب قوتين للأساس نفسه يجمع أسّيهما، والقسمة تطرح الأسين. لهذا يظهر جمع أو طرح في اللوغاريتم، ولا نضرب ناتجي اللوغاريتم تلقائيًا. ^[1]

مثلًا log_3(27×9)=3+2=5، لأن 27 و 9 هما 3³ و 3². وكذلك log_3(81/3)=4−1=3. وبخاصية القوة log_2(32³)=3·5=15 لأن 32=2⁵.

قاعدة المجموع التي لا توجد

لا توجد قاعدة عامة تجعل log_b(M+N) مساويًا log_b(M)+log_b(N). اختر M=3 و N=9 والأساس 3: المجموع داخل اللوغاريتم 12، وقيمته نحو 2.262، بينما مجموع اللوغاريتمين 1+2=3.

العبارة الصحيحة بالمجموع log_3(3)+log_3(9)=log_3(27). تغيير 12 إلى 27 دون تغيير العملية من الجمع إلى الضرب لا يصف المسألة نفسها. التحقق بأرقام بسيطة يبين سبب الحاجة إلى قراءة ما داخل القوس.

تغيير الأساس عند الحساب

إذا لم تتوفر على الحاسبة خانة للأساس المطلوب، نستخدم log_b(M)=ln(M)/ln(b)، أو اللوغاريتم العشري في البسط والمقام معًا. الأساس الجديد موجب وغير 1. ^[1]

مثلًا log_2(7)=ln(7)/ln(2)≈2.8074. الناتج بين 2 و 3، لأن 2²=4 و 2³=8 والعدد 7 بينهما. لا تستخدم ln في البسط و log العشري في المقام ثم تتوقع النتيجة نفسها.

كل من log العشري و ln الطبيعي لوغاريتم، لكن الأول للأساس 10 والثاني للأساس e. اختيار الأساس المناسب لا يغير تعريف اللوغاريتم؛ إغفال الأساس يغير الرقم الذي تحسبه. ^[2]

ماذا عن مربع عدد سالب؟

عند x>0 يجوز log_b(x²)=2log_b(x). لكن إذا كان x سالبًا وغير صفري، فالمربع موجب ويقبل لوغاريتمًا حقيقيًا، بينما log_b(x) نفسه لا يقبل ذلك. لا توسع التعبير بالطريقة السابقة دون شرط.

مثلًا عند x=−2 يصبح log_10(x²)=log_10(4) عددًا حقيقيًا، لكن log_10(−2) ليس حقيقيًا. إذا أردت صيغة تشمل x≠0 في الأعداد الحقيقية، فاستخدم log_b(x²)=2log_b(|x|) لأن القيمة المطلقة موجبة. هذا استنتاج من خاصية القوة وشروطها. ^[1][2]

كيف تقرأ الرسم؟

يمر منحنى y=log_3(x) بالنقاط (1,0) و (3,1) و (9,2). الضرب في 3 في المدخل يقابل إضافة 1 إلى الناتج. وهو متزايد في هذا الأساس؛ ليس معنى ذلك أن كل لوغاريتم متزايد، فالأساس بين 0 و 1 يعطي دالة متناقصة. ^[3]

راجع المجال، وثبت الأساس، وحدد العملية داخل القوس، ثم طبق الخاصية. حافظ على الصيغة الدقيقة حتى آخر خطوة، وقرب عند الحاجة مع ذكر أن القيمة تقريبية.