التحليل العددي: الحل التقريبي والأخطاء والاستقرار

الحل العددي والحل الرمزي

الحل الرمزي يعبر عن النتيجة بصيغة، مثل √2 لجذر x²−2=0 الموجب. الحل العددي يقدم قيمة مقربة مثل 1.4142، أو فترة تحصر الحل. وقد نستخدم طريقة عددية لأن الصيغة المغلقة غير متاحة أو لأن الحساب التقريبي أنسب لحجم البيانات والمسألة.

الفكرة ليست استبدال الرياضيات بالحاسوب؛ فالتحليل يحدد هل الخوارزمية تتقارب، وما الذي قد يجعلها تفشل، وكيف نقيس الخطأ. والحساب محدود الدقة يضيف قيودًا إلى تنفيذ خطوات صحيحة على الورق. ^[1]

أنواع الخطأ التي يجب تمييزها

خطأ البيانات ينشأ من القيم المدخلة، مثل قياس غير دقيق. وخطأ القطع أو التقريب بالطريقة ينشأ من استبدال عملية مستمرة بعملية محدودة، مثل تقسيم منحنى إلى عدد محدود من الأشكال. أما خطأ التقريب الحسابي فينشأ من تمثيل الأعداد والعمليات بدقة محدودة. ^[1][5]

إذا كانت القيمة الدقيقة q والتقريب q̂، فالخطأ المطلق |q−q̂|، والخطأ النسبي |q−q̂|/|q| عندما q≠0. قرب الصفر قد يكون الخطأ النسبي كبيرًا أو غير مناسب وحده، لذلك يجب تفسير المقياس وفق المسألة. ^[2][5]

مثلًا تقريب √2 بالعدد 1.4142 له خطأ مطلق نحو 0.0000135624، وخطأ نسبي نحو 0.00000959005، أي قرابة 0.000959%. هذه أرقام فحص مشتقة من الفرق، وليست ضمانًا لدقة كل عملية تستخدم هذا التقريب.

مثال: تنصيف فترة تحصر الجذر

اختر f(x)=x²−2 على [1,2]. الدالة مستمرة، و f(1)=−1 و f(2)=2، فتتغير الإشارة. في كل خطوة نختبر الوسط، ونحتفظ بالنصف الذي تبقى فيه إشارة الطرفين مختلفة. استمرارية الدالة واختلاف الإشارتين شرطان أساسان لهذا الحصر. ^[4]

بعد الخطوة الرابعة عرض الفترة 0.0625. إذا اخترنا وسط هذه الفترة تقريبًا نهائيًا، فهو 1.40625، ويبعد عن أي جذر محصور فيها بمقدار لا يزيد على نصف العرض، أي 0.03125. الجذر الفعلي √2 يقع داخلها، وخطأ هذا الوسط نحو 0.00796356.

الوسط النهائي هنا ليس الوسط المختبر في الصف الرابع؛ إنه متوسط طرفي الفترة التي بقيت بعد ذلك الاختبار. بعد n تنصيفات، يصبح العرض (b−a)/2^n، فيكون ضمان خطأ وسط الفترة نصف هذا العرض، ما دام الحصر صحيحًا.

لا يعني عدم تغير الإشارة دائمًا غياب الجذر: الدالة x² لها جذر عند 0 لكنها لا تغير الإشارة حوله. طريقة الحصر هذه لا تنطبق مباشرة على تلك الحالة، ويجب اختيار أداة تناسبها.

مثال على تكامل تقريبي

لتقدير ∫[0,1] e^x dx، نقسم الفترة إلى أربعة أجزاء بعرض h يساوي 0.25، ونصل نقاط المنحنى بخطوط مستقيمة. قاعدة شبه المنحرف تجمع مساحة كل جزء، أو تستخدم الصيغة T₄=h[(f(0)+f(1))/2+f(0.25)+f(0.5)+f(0.75)]. ^[5]

بتقييم الدالة الأسية دون تقريب مبكر للقيم الوسيطة نجد T₄≈1.7272219. القيمة الدقيقة e−1≈1.7182818، فالخطأ المطلق نحو 0.0089401، والنسبي نحو 0.5203%. هذه نتيجة مشتقة للمثال وليست حدًا عامًا لأخطاء الطريقة.

في هذا المنحنى المحدب إلى أعلى، تقع الأوتار فوق المنحنى، فيكون التقدير أكبر من التكامل. زيادة التقسيم في دالة مناسبة تحسن التقريب، لكن لا يعني ذلك أن اختيار أصغر خطوة ممكنة هو دائمًا أفضل قرار في كل مسألة عددية. ^[5]

حساسية المسألة واستقرار الخوارزمية

حساسية المسألة تصف أثر تغير المدخلات على الحل الدقيق نفسه. أما استقرار الخوارزمية فيصف هل تضخم خطوات الحساب الأخطاء أكثر مما تفرضه طبيعة المسألة. قد تكون المسألة قليلة الحساسية لكن طريقة تنفيذها تفقد دقة كبيرة. ^[2][3]

مثلًا للتعبير √(1+h)−1 عندما h صغير جدًا، يمكن استخدام صيغة مساوية هي h/(√(1+h)+1). الصيغة الثانية تتجنب طرح عددين قريبين من 1. في حساب Python بالتمثيل الثنائي المعتاد للأعداد العائمة، عند h=10^−16 يعطي التعبير المباشر 0، بينما تعطي الصيغة البديلة نحو 5×10^−17.

المساواة الجبرية صحيحة في الأعداد الحقيقية، لكن اختلاف مسار العمليات في تمثيل محدود الدقة يغير النتيجة المحسوبة. هذا المثال أُعيد حسابه في بيئة التنفيذ؛ وليس وصفًا يضمن سلوك جميع اللغات أو كل إعدادات الدقة.

كيف نحكم على نتيجة عددية؟

• افحص شروط الطريقة ومجال الدالة قبل بدء التكرار.
• اختر دقة مطلقة أو نسبية تلائم معنى الناتج.
• احتفظ بدقة كافية في الخطوات الوسيطة، ثم قرب عند العرض.
• قارن الناتج بصيغة معروفة أو بحساب مستقل متى أمكن.
• سجل معيار التوقف وعدد الخطوات وحدود الخطأ، بدل كتابة أرقام كثيرة بلا تفسير.

الجواب الجيد قد يكون فترة مضمونة أو قيمة تقريبية مع بيان حدودها. هذا البيان يجعل النتيجة قابلة للمراجعة، ويمنع الخلط بين عدد يبدو دقيقًا وبين حل ثبتت ملاءمته للمسألة.