خصائص النهايات: القوانين وشروطها وأمثلة محلولة

ماذا تعني نهاية الدالة؟

نكتب lim(x→a) f(x) = L عندما تقترب قيم الدالة من L باقتراب x من a، من غير اشتراط أن نضع x مساويًا لـ a أثناء الاقتراب. قد تكون الدالة غير معرفة عند a، أو معرفة بقيمة تختلف عن L. النهاية تصف السلوك حول النقطة، وقيمة الدالة تصف النقطة نفسها. ^[2]

إذا كانت الدالة مستمرة عند a، تتفق الفكرتان وتكون النهاية f(a). لذلك يصح التعويض المباشر في كثيرات الحدود، وفي الدوال الكسرية عند نقطة لا تجعل المقام صفرًا. أما استعمال التعويض دون فحص الاستمرارية أو المقام فقد يعطي استنتاجًا غير صحيح. ^[1][3]

القوانين الأساسية وشروط تطبيقها

افترض أن نهايتي f و g عند a موجودتان ومحدودتان، وتساويان L و M. وليكن c ثابتًا. عندئذ تستخدم القواعد الآتية؛ والصيغ داخل الجدول تشير كلها إلى الاقتراب من a. ^[1]

على سبيل المثال، إذا كانت lim f = 2 و lim g = −3، فإن نهاية 3f−g تساوي 3×2−(−3)=9، ونهاية fg تساوي −6، ونهاية f/g تساوي −2/3. القسمة هنا جائزة لأن نهاية المقام −3 وليست صفرًا.

إذا لم توجد إحدى النهايتين، لا يجوز تعويضها برقم وتطبيق الجدول. وقد توجد نهاية المجموع رغم عدم وجود نهايتي كل حد وحده؛ لذا هذه القواعد شروط كافية للحساب، وليست طريقة لإثبات عدم الوجود تلقائيًا.

لماذا لا يحدد الثقب قيمة النهاية؟

خذ f(x)=(x²−9)/(x−3) عندما x≠3. بعد التحليل نحصل على f(x)=(x−3)(x+3)/(x−3)=x+3 في النقاط التي يسمح فيها بالاختصار. لذلك نهايتها عند 3 تساوي 6، رغم أن الكسر الأصلي غير معرف هناك.

إذا أضفنا تعريفًا مستقلًا هو f(3)=1، تبقى النهاية 6 لأن القيم المجاورة لم تتغير. لكن الدالة عندئذ لا تكون مستمرة عند 3. الجدول يرشدنا إلى الاقتراب، أما التحليل الذي يجعل الدالة مساوية لـ x+3 قرب النقطة فيبرر النتيجة حسابيًا. ^[1][3]

حل صورة صفر على صفر بالتحليل

لحساب نهاية (x²−16)/(x−4) عندما x→4، يعطي التعويض الشكلي الصورة 0/0. هذه صورة غير معينة؛ لا تعني أن الناتج صفر، ولا تثبت أن النهاية غير موجودة.

نحلل x²−16=(x−4)(x+4)، ثم نختصر العامل المشترك بشرط x≠4. تصبح الدالة x+4 حول النقطة، فتساوي النهاية 8. نحن لم نقسم صفرًا على صفر؛ حسبنا سلوك تعبير مكافئ في جوار النقطة. ^[1]

مثال على استعمال المرافق

لإيجاد نهاية (√(x+16)−4)/x عند x→0، نضرب البسط والمقام في √(x+16)+4. يتغير البسط إلى (x+16)−16=x، فتختصر x عندما لا تساوي صفرًا.

ينتج 1/(√(x+16)+4). هذا التعبير مستمر قرب 0 ومقامه عندها 8، فتكون النهاية 1/8. نستخدم المرافق لإزالة صورة غير معينة، ونراعي أن الجذر معرف وأن المقام الجديد لا يساوي صفرًا قرب النقطة. ^[1]

فحص النهايتين اليمنى واليسرى

في الدالة h، افترض أن h(x)=x+1 عندما x<2، وأن h(x)=x+4 عندما x≥2. من اليسار تقترب القيم من 3، ومن اليمين تقترب من 6. ولأن العددين مختلفان، لا توجد نهاية ثنائية الجانب عند 2، مع أن h(2)=6.

وجود النهاية المحدودة من الجهتين يتطلب أن توجد النهاية اليسرى واليمنى وتتفقا في القيمة. وهذا الفحص مهم في الدوال متعددة التعريف؛ نختار فرع كل جهة بحسب شرطه، لا بحسب قيمة الدالة عند النقطة. ^[2]

خطوات عملية قبل اعتماد الجواب

• حدد نقطة الاقتراب ومجال الدالة القريب منها.
• افحص شروط التعويض وقوانين الجمع والضرب والقسمة.
• إذا ظهرت صورة غير معينة، جرب التحليل أو المرافق المناسب للتعبير.
• في الدالة متعددة التعريف، احسب النهاية من كل جهة على حدة.
• ميز في الجواب بين وجود النهاية وبين الاستمرارية وقيمة الدالة.

من الخطأ كتابة 1/(x−1) على أنها تقترب من 1 عندما x يكبر بلا حد؛ فهي تقترب من 0. وقد تتطلب النهايات غير المحدودة أدوات مختلفة عن جدول النهايات المحدودة أعلاه، لذلك لا نمد القواعد إلى كل حالة دون فحص شروطها.