معنى نصف القطر السالب في الإحداثيات القطبية: نقطة وتمثيلات متعددة

ابدأ بالزاوية، ثم اقرأ إشارة الإحداثي الشعاعي

نقيس الزاوية من المحور الأفقي الموجب: الموجب عكس عقارب الساعة، والسالب معها. إذا كان r > 0 نتحرك على شعاع الزاوية، وإذا كان r < 0 نتحرك على الشعاع المقابل. ^[2]

اختر (−5,−30°). اتجاه الزاوية ينحدر إلى اليمين، لكن الإشارة السالبة تجعل الانتقال خمس وحدات إلى الجهة المقابلة، في الربع الثاني. البعد خمس وحدات في الحالتين؛ تبديل الإشارة دون تعديل الزاوية يغير النقطة.

نقطة واحدة بأكثر من زوج

إضافة دورة كاملة إلى الزاوية لا تغير الشعاع. ويمكن تبديل إشارة r مع إضافة نصف دورة إلى الزاوية للوصول إلى النقطة نفسها. لذلك لا تكون الإحداثيات القطبية فريدة دون قيود على طريقة كتابتها. ^[1][2]

في مثالنا (5,150°) و (5,510°) و (−5,−30°) تمثيلات متكافئة. تحقق من الثالث: x = −5 cos(−30°) = −5√3/2، و y = −5 sin(−30°) = 5/2. وهي نتيجتا الزوج الأول أيضًا.

تعتمد المراجعة على x = r cosθ و y = r sinθ. وعند r = 0 تعطيان الأصل مهما كانت الزاوية؛ لا يوجد اتجاه منفرد نستخرجه من نقطة الأصل نفسها. ^[2]

مثال على منحنى: الإشارة تتغير والنقطة قد تتكرر

نختار المعادلة r = 6 sinθ. عند θ = 30° يكون r = 3، فنصل إلى (3√3/2,3/2). وعند θ = 210° يصبح r = −3، لكن cos210° = −√3/2 و sin210° = −1/2، فتظهر النقطة الديكارتية نفسها.

وبضرب المعادلة المختارة في r: r² = 6r sinθ. بالتعويض نحصل على x² + y² = 6y، ثم x² + (y−3)² = 9. إذن هذا المثال دائرة مركزها (0,3) ونصف قطرها 3؛ نقطة الأصل تحقق المعادلة أيضًا.

استعمال العلاقات القطبية في تحويل المعادلات يربط الرسم بالديكارتي. هنا ضربنا في r ولم نقسم عليه؛ لذلك لم نسقط حالة r = 0 من الحساب. ^[2]

كيف تفحص تمثيلًا سالبًا؟

ارسم شعاع الزاوية أولًا، وضع النقطة على الجهة المقابلة إذا كانت إشارة r سالبة. ثم افحص الإحداثيين الديكارتيين في المثال. لا تخلط بين قيمة الإحداثي الموجه والمسافة، ولا تفترض أن كل زوج مختلف يصف نقطة مختلفة.

وفي المنحنى السابق يكفي أن تقارن صفّي 30° و 210° لترى لماذا قد تتكرر نقطة رغم تغير الزاوية والإحداثي الشعاعي معًا.