مسائل على حجم المخروط مع الحل: الوحدات والارتفاع المجهول

المسألة الأولى: وحدتان وقطر معلوم

قطر قاعدة مخروط 80 مم، وارتفاعه 1.5 ديسيمتر. المطلوب الحجم بالسنتيمتر المكعب. نحول الأطوال أولًا: 80 مم تساوي 8 سم، و 1.5 ديسيمتر تساوي 15 سم. المعطى الأول قطر كامل؛ لذلك r=8÷2=4 سم. ^[2]

بالتعويض V=π×4²×15/3=80π سم³، أي نحو 251.33 سم³. لو استخدمنا 8 بدل 4 في خانة نصف القطر، لتضاعفت قيمة r ثم تربعت، وأصبح الحجم المحسوب أربعة أمثال المطلوب.

اقرأ وحدة الناتج من الضرب: مربع السنتيمتر في سنتيمتر يعطي سنتيمترًا مكعبًا. لا نحول 80 مم إلى 80 سم، ولا نخلط طولًا بالمليمتر مع ارتفاع بالديسيمتر في تعويض واحد.

المسألة الثانية: استخرج الارتفاع

مخروط حجمه 96π سم³ ونصف قطر قاعدته 4 سم. نكتب 96π=π×4²×h/3. نضرب في 3 ثم نقسم على 16π، فنحصل على h=18 سم.

للتحقق π×16×18/3=96π سم³. اختفت π لأنها عامل غير صفري في الطرفين؛ لم نستبدلها بالعدد 1. ويمكن كتابة القاعدة العكسية h=3V/(πr²) عندما يكون نصف القطر موجبًا.

كيف يتغير الحجم عند تغيير بعد واحد؟

في المسألة الأولى، إذا ضاعفنا نصف القطر من 4 إلى 8 سم مع ثبات الارتفاع 15 سم، يصبح الحجم 320π سم³، أي أربعة أمثال 80π. أما مضاعفة الارتفاع وحده إلى 30 سم فتعطي 160π سم³، أي الضعف.

السبب أن نصف القطر يظهر مربعًا، بينما الارتفاع يظهر عاملًا من الدرجة الأولى. وإذا تضاعف الاثنان معًا صار الحجم ثمانية أمثال قيمته. هذا يساعد على تقدير معقولية الإجابة قبل إنهاء الحساب.

تمرين ثالث قبل النظر إلى الحل

مخروط قطره 6 سم وارتفاعه 8 سم. أوجد حجمه بدلالة π. نأخذ r=3 سم، فيكون V=π×3²×8/3=24π سم³. إذا حصلت على 72π فراجع القسمة على 3، وإذا حصلت على 96π فراجع تحويل القطر إلى نصف قطر.

عند إعطاء طول مائل بدل الارتفاع في مخروط قائم، نحسب الارتفاع العمودي من العلاقة المناسبة قبل استخدام قانون الحجم. لا نستبدل h بالراسم لمجرد أن كليهما طول. ^[1]