قانون مساحة القطاع الدائري بالدرجات والراديان

اختيار الصيغة يبدأ بوحدة الزاوية

كسر الزاوية من الدورة الكاملة يساوي كسر مساحة القطاع من مساحة الدائرة. وبالراديان الدورة 2π، فيصبح A = (θ/(2π))πr²، ثم تختصر إلى الصيغة الثانية. كذلك s = rθ، ومنه صيغة طول القوس. ^[1]

مثال يحل بطريقتين

قطاع نصف قطره 9 سم وزاويته 60 درجة: A = (60/360)π(9)² = 13.5π ≈ 42.41 cm². من المعقول أن تكون المساحة سدس مساحة الدائرة، لأن الزاوية سدس 360 درجة.

نحول الزاوية إلى راديان: 60 × π/180 = π/3. ثم A = (π/3)(9)²/2 = 13.5π cm². تطابق الجوابين يختبر التحويل، لكنه لا يجيز استخدام العدد 60 في صيغة الراديان.

مثال بطول القوس، وعكس المسألة

إذا كان نصف القطر 7.2 سم وطول القوس 5 سم، فالمساحة A = 7.2 × 5/2 = 18 cm². استخدمنا طول القوس دون حاجة إلى إيجاد زاوية عددية؛ ولو احتجناها فهي θ = s/r = 5/7.2 راديان.

ولقطاع مساحته 12π cm² من دائرة نصف قطرها 6 سم، تعطي صيغة الدرجات θ = 360A/(πr²) = 120°. وهي ثلث الدورة، ومساحة القطاع ثلث 36π cm². هذا فحص مستقل للنسبة.

القطاع ليس القطعة الدائرية

القطاع محاط بنصفَي قطر وقوس، أما القطعة الدائرية فيحدها وتر يصل طرفي القوس والقوس نفسه. في القطاع الأصغر المرسوم يمكن إيجاد القطعة بطرح مساحة المثلث بين نصفي القطر والوتر من مساحة القطاع؛ لذلك لا تعطي الصيغة وحدها مساحة القطعة.

وقد يكون القطاع أكبر من نصف دائرة. عندها تختار القوس والزاوية المركزيّة اللذين تصفهما المسألة؛ زاوية 240 درجة مثلًا تمثل ثلثي الدائرة. لا تستبدل بها الزاوية الأصغر بين نصفي القطر إذا كان الرسم أو النص يطلب القطاع الأكبر.

أخطاء تظهر في التعويض

• تأكد من وحدة الزاوية، وحولها قبل استخدام الصيغة المناسبة.
• إذا كان المعطى قطرًا، قسمه على 2 قبل التربيع.
• مساحة القطاع بوحدة مربعة، وطول القوس بوحدة طول.
• لزاوية ثابتة تتناسب المساحة مع مربع نصف القطر؛ مضاعفته تعطي أربعة أمثال المساحة.

احتفظ بقيمة π أو بدقة الآلة حتى نهاية الحل، ثم قرب كما طلب السؤال. والأهم حدد المنطقة المطلوبة في الرسم قبل حسابها؛ تشابه القوس لا يجعل القطاع والقطعة مساحة واحدة.