قوانين المثلثات والزوايا: كيف تختار الجيب أو جيب التمام؟

ابدأ بمجموع الزوايا وتسمية الأضلاع

في مثلث على مستوى إقليدي، مجموع الزوايا الداخلية 180 درجة. إذا عرفت زاويتين 52 و 73 درجة، فالثالثة 180−52−73 = 55°. هذا يحسب زاوية، لكنه لا يحدد أطوال الأضلاع دون معلومة طول مناسبة. ^[1]

نسمّي الزوايا A و B و C، والأضلاع المقابلة لها a و b و c. الضلع a لا يلمس رأس الزاوية A؛ إنه الضلع الواقع أمامها. الخطأ في هذه المطابقة يفسد التعويض حتى لو حفظت القانون. ^[2]

أي قانون يناسب المعطيات؟

النسب مثل sinθ = المقابل/الوتر تخص المثلث القائم بهذه الأسماء. لا تسمّ أطول ضلع في أي مثلث وترًا ثم تستعملها كأن الزاوية قائمة. وإذا كان المثلث قائمًا بساقين 5 و 12، فإن وتره √(5²+12²) = 13 وحدة. ^[1]

قانون الجيب: زاويتان وضلع

الصيغة a/sinA = b/sinB = c/sinC. كل ضلع مرتبط بجيب الزاوية المقابلة له. ينطبق القانون على مثلثات عامة، وليس القائم فقط. ^[2]

افترض A=30 درجة و B=45 درجة، والضلع a=4 وحدات. الزاوية C=105 درجات. من b = 4sin45°/sin30° نحصل على b = 4√2 ≈ 5.66 وحدة. كذلك c = 4sin105°/sin30° ≈ 7.73 وحدة.

الترتيب منطقي: الضلع المقابل 105 درجات أطول من المقابل 45، وهذا أطول من المقابل 30. احتفظ بقيم الجيب غير المقربة أثناء الحل، ثم قرب النتيجة النهائية.

أما في حالة ضلعين وزاوية غير محصورة، فقد لا يوجد مثلث أو يوجد واحد أو اثنان. عند استخراج زاوية بالجيب العكسي لا تنس احتمال الزاوية المكملة لها إلى 180 درجة، ثم افحص مجموع الزوايا والمعطيات. ^[2]

جيب التمام: ضلعان وزاوية محصورة

إذا كانت A بين الضلعين b و c، فالصيغة a² = b²+c²−2bc cosA. الضلع المطلوب a مقابل A. وتعمل الصيغة أيضًا في المثلث القائم؛ عند A=90 درجة يصبح حد جيب التمام صفرًا. ^[3]

في مثال الرسم، b=7 و c=9 و A=60 درجة. نحسب a² = 49+81−2×7×9×0.5 = 67. إذن a = √67 ≈ 8.19 وحدة، ونختار الجذر الموجب لأن المطلوب طول.

إذا عرفت الأضلاع الثلاثة، اعزل جيب الزاوية: cosA = (b²+c²−a²)/(2bc)، ثم استخدم جيب التمام العكسي. قبل ذلك تحقق أن الأطوال تصلح لمثلث؛ مجموع أي ضلعين يجب أن يتجاوز الثالث في المثلث غير المنحل.

مراجعة الحل قبل اعتماده

اكتب هل الحاسبة في وضع الدرجات أو الراديانات. مثال 60 درجة يحتاج وضع الدرجات عند إدخال 60 مباشرة؛ تغيير الوضع يغير قيمة جيب التمام. واذكر وحدة الطول في النتيجة، مع أن الجيب وجيب التمام بلا وحدات.

ارسم المعطيات، وميز الزاوية المحصورة من غير المحصورة، ثم طابق كل ضلع مع زاويته. راجع أن الزوايا موجبة ومجموعها 180 درجة، وأن الضلع الأكبر يقابل الزاوية الأكبر. هذه المراجعة تكشف أخطاء اختيار القانون والتعويض.