شرح المربعات الكاملة في الرياضيات: التعريف والفحص ونمط الأعداد

التعريف يشمل الصفر

في الأعداد الصحيحة، العدد n مربع كامل إذا وجد عدد صحيح k يحقق n=k². لذلك 0 مربع كامل لأن 0²=0، وكذلك 1 و 4 و 9 و 16. جميع هذه القيم غير سالبة؛ العبارة الدقيقة «غير سالب» تشمل الصفر. ^[1]

يمكن أن يكون العدد الذي نربعه سالبًا: (-13)²=169 مثل 13²=169. لكن الناتج 169 موجب. أما −169 فلا يساوي مربع أي عدد حقيقي، وبالتالي لا يكون مربعًا كاملًا في هذا المعنى.

لا يكفي أن نقول إن كل ناتج تربيع عدد ما مربع كامل ضمن الأعداد الصحيحة: 1.5²=2.25 مربع لعدد عشري، لكنه ليس عددًا صحيحًا مربعًا كاملًا. تعريف المجال يمنع الخلط بين التعبير «مربع» والفئة العددية التي ندرسها.

طريقة الجذر وطريقة الحصر

إذا كان n عددًا صحيحًا غير سالب وكان جذره التربيعي الرئيسي عددًا صحيحًا، فهو مربع كامل. مثلًا √625=25 لأن 25×25=625. نتحقق بالضرب بدل الاعتماد على عدد عشري قصير يظهر في الحاسبة. ^[1]

ولرفض 130 نلاحظ 11²=121<130<144=12². يقع بين مربعين متتاليين، فلا يوجد عدد صحيح مربعه 130. أما تقريب الجذر إلى أقرب عدد صحيح فلا يحول العدد إلى مربع كامل.

فرق مهم في الكتابة: √169=13، بينما حل المعادلة x²=169 هو x=13 أو x=−13. رمز الجذر الرئيسي يعطي قيمة واحدة غير سالبة؛ معادلة التربيع تسأل عن كل قيمة للمجهول. ^[1]

العوامل الأولية تأتي في أزواج

لعدد صحيح موجب أكبر من 1، يكون العدد مربعًا كاملًا إذا كانت أسس جميع عوامله الأولية زوجية. فحين نربع حاصل ضرب، نضاعف كل أس؛ وبالعكس نستطيع أخذ نصف كل أس زوجي لنبني العدد الذي نربعه. هذا يعتمد على التحليل الأولي الوحيد للعدد. ^[2]

لدينا 900=2²×3²×5²=(2×3×5)²=30². يمكن تقسيم عوامل 900 إلى مجموعتين متطابقتين، كل منهما حاصل ضربه 30. أما 180=2²×3²×5 ففيه عامل 5 غير مزدوج، لذلك ليس مربعًا كاملًا.

مثلًا 30625=5⁴×7² مربع كامل؛ نصف الأسين يعطي 5²×7=175، فنجد 175²=30625. ولا يعني «أس زوجي» أن العوامل نفسها أعداد زوجية؛ العامل 7 فردي، لكن أسه 2 زوجي.

الصفر و 1 يفحصان مباشرة بالتعريف؛ لا نحتاج فرض تحليل أولي للصفر. التحليل المذكور هنا أداة للأعداد الموجبة الأكبر من 1.

نمط المربعات المتتالية

عند توسيع مربع 7×7 إلى 8×8 نضيف صفًا من 8 خانات وعمودًا من 7 خانات. هذه 15 خانة جديدة، دون عد خانة الركن مرتين: 64−49=15. الشكل الرئيس يعرض الوحدات واحدة واحدة.

بصورة عامة (k+1)²−k²=2k+1. الفروق هي أعداد فردية متتالية: بين 0 و 1 فرق 1، ثم بين 1 و 4 فرق 3، ثم 5، ثم 7. لذلك مجموع أول k أعداد فردية موجبة يساوي k²؛ إذ تبني كل زيادة الإطار التالي.

هذا نمط حسابي يمكن إثباته بتوسيع المربع، وليس توقعًا قائمًا على أول بضعة أعداد فقط. عندما k=12 مثلًا نجد 13²−12²=25، وهو يطابق 2×12+1.

المربع الكامل في تعبير جبري

تستعمل العبارة أيضًا لوصف تعبير يساوي مربع حد جبري. مثلًا x²+14x+49=(x+7)²، لأن الحد الأوسط ضعف حاصل ضرب x و 7. وبالمثل x²−14x+49=(x−7)². ^[3]

وجود حد أول وآخر مربعين لا يكفي: x²+10x+49 لا يساوي (x+7)² لأن الحد الأوسط المطلوب 14x. يجب فحص الحدود الثلاثة والإشارة. وهذا معنى جبري مرتبط بالتربيع، لكنه يختلف عن السؤال: هل عدد صحيح بعينه مربع كامل؟

تدريب مع إجابات

افحص الأعداد 256 و 260 و 2025 و −64. الأول 16²، والثالث 45². العدد 260 يقع بين 256 و 289، والأخير سالب؛ لذا المربعان الكاملان في هذه القائمة هما 256 و 2025.

ما أصغر عدد صحيح موجب تضرب به 200 ليصبح الناتج مربعًا كاملًا؟ 200=2³×5²، فنحتاج عاملًا آخر من 2. الضرب في 2 يعطي 400=20². أما الضرب في 1 فلا يكفي، ولذلك 2 هو الأصغر هنا.

وابحث عن مربعين متتاليين حول 350: 18²=324 و 19²=361. تستطيع بهذا الحصر معرفة أن 350 ليس مربعًا كاملًا قبل حساب جذره العشري. اختر التعريف أو الحصر أو العوامل بحسب العدد المتاح.