تشابه المثلثات: معايير التشابه ونسب الأطوال والمساحات

رتب الرؤوس وحدد الأضلاع المتناظرة

في △ABC ∼ △DEF يكون A↔D و B↔E و C↔F. نقارن AB مع DE، و BC مع EF، و AC مع DF؛ ترتيب الرؤوس يحفظ التناظر حتى عند الدوران. ^[1]

نعرّف نسبة التكبير هنا k=DE/AB، أي طولًا من الثاني على نظيره من الأول. استعمل الاتجاه نفسه مع الأزواج الباقية؛ قلب كسر واحد يغير السؤال.

إذا كانت إحدى نسب الأضلاع 1.25، فالنسبتان الأخريان تحتاجان القيمة نفسها كي ينجح اختبار الأضلاع الثلاثة. ^[1]

معايير تكفي لإثبات التشابه

تساوي زاويتين متناظرتين يكفي؛ فالزاوية الثالثة تتساوى أيضًا لأن مجموع زوايا كل مثلث 180°. وهذا معيار AA. ^[4][5]

في معيار SSS تتساوى نسب الأزواج الثلاثة من الأضلاع المتناظرة. وفي SAS تتساوى نسب زوجين من الأضلاع وتكون الزاوية المحصورة بينهما متساوية؛ لا تستبدلها بزاوية أخرى. ^[1][3]

في نموذج زاويتين مختارتين، 42° و 68° تعطيان ثالثة 180−42−68=70°. ومثلث آخر بزاويتين متناظرتين 42° و 68° يملك الثالثة نفسها، مهما اختلفت أطواله.

مثال أطوال: تكبير مثلث قائم

نختار مثلثًا قائمًا بأضلاع 7,24,25 سم، وآخر بأضلاع 8.75,30,31.25 سم. مطابقة الأصغر مع الأصغر والأكبر مع الأكبر تعطي:

النسب الثلاث متساوية. محيط الأول 7+24+25=56 سم، ومحيط الثاني 8.75+30+31.25=70 سم. النسبة 70/56=1.25، موافقة لنسب الأضلاع.

ومساحة الأول 7×24/2=84 سم²، والثاني 8.75×30/2=131.25 سم². نسبة المساحتين 131.25/84=1.5625=1.25². زيادة الطول ربعًا لم تجعل زيادة المساحة ربعًا.

في التشابه تكون نسبة المحيطين مثل نسبة الأطوال، ونسبة المساحتين مربع نسبة الأطوال. ومساحة المثلث نصف القاعدة في الارتفاع العمودي؛ لا نستعمل ضلعًا مائلًا بدل الارتفاع. ^[2][5]

مثال داخل مثلث: قطع موازٍ للقاعدة

في الرسم نختار مثلثًا قائمًا قاعدته 20 وارتفاعه 15 بوحدة طول واحدة. نرسم قطعة أفقية موازية للقاعدة على بعد 6 وحدات رأسيًا من القمة. المثلث الصغير عند القمة يملك زاوية مشتركة وزاوية قائمة، فيتشابه مع الكبير.

نسبة الأطوال من الصغير إلى الكبير 6/15=0.4، ولذلك طول قاعدة الصغير 20×0.4=8. مساحة الكبير 20×15/2=150، ومساحة الصغير 8×6/2=24؛ النسبة 24/150=0.16=0.4².

القياس 6 في المثال ارتفاع من القمة إلى القطعة، والقياس 15 ارتفاع كامل. لا تقارنه بالجزء السفلي 9 على أنه الارتفاع الكامل؛ حينها ستقلب معنى النسبة المختارة.

أخطاء تغير النسبة

حدد الرؤوس المتناظرة واتجاه الكسور، وميز الأطوال من المساحات. وفي معيار ضلعين وزاوية، افحص أن الزاوية محصورة بينهما.

في مثال المثلثين، يمكن فحص النسبة العكسية: 7/8.75=24/30=25/31.25=0.8، ونسبة المساحات العكسية 84/131.25=0.64=0.8². تغيير الاتجاه صحيح إذا تغير في المقارنة كلها.