محيط الكرة: الدائرة العظمى والفرق بين المحيط والمساحة

ما المقصود بالدائرة العظمى؟

تخيل قطع كرة بمستوى يمر بمركزها. نصف قطر الدائرة الناتجة يساوي نصف قطر الكرة R، وتسمى دائرة عظمى. يمكن تغيير اتجاه مستوى القطع حول المركز؛ تنتج دوائر عظمى كثيرة، وكلها لها نصف القطر نفسه. ^[1]

إذا قطعنا الكرة بمستوى لا يمر بالمركز ويقطع سطحها في دائرة، يكون نصف قطر هذه الدائرة أصغر من R. لهذا لا يكفي أن يلتف شريط حول الكرة حتى نعرف طوله؛ يجب معرفة موضع الدائرة التي يتبعها الشريط. المقطع المماس حالة حدية يلتقي بالسطح في نقطة، وليس دائرة ذات محيط موجب.

قانون المحيط من نصف القطر أو القطر

للدائرة العظمى: C = 2πR. وإذا كان قطر الكرة D معلومًا، فإن D = 2R ومن ثم C = πD. الرمز C يدل على طول المحيط، والعدد π ثابت الدائرة. نترك الإجابة بدلالة π حين نريد قيمة دقيقة، أو نستخدم تقريبًا عشريًا ونضع علامة التقريب. ^[2]

كرة نصف قطرها 5 سم لها دائرة عظمى محيطها C = 2π × 5 = 10π سم، أي نحو 31.416 سم. أما إذا كان القطر 12.8 سم، فإن المحيط 12.8π سم، أي نحو 40.212 سم. في الحالة الثانية لا نضرب القطر في 2 مرة أخرى.

يمكن عكس القانون: إذا كان محيط الدائرة العظمى 16π سم، فإن R = C/(2π) = 8 سم، والقطر 16 سم. إعادة التعويض تعطي 2π × 8 = 16π، فتؤكد أن نصف القطر والقطر لم يختلطا.

كيف نحسب محيط دائرة صغرى؟

لنأخذ مستوى قطع يبعد مسافة h عن مركز كرة نصف قطرها R. داخل مقطع رأسي، تتكون زاوية قائمة بين المسافة h ونصف قطر دائرة القطع ρ. بالاعتماد على فيثاغورس: ρ² + h² = R²، أي ρ = √(R² − h²). لذلك محيط دائرة القطع C = 2π√(R² − h²) عندما 0 ≤ h < R.

في كرة نصف قطرها 5 سم، إذا كان مستوى القطع على بعد 3 سم من المركز، يصبح نصف قطر المقطع ρ = √(25 − 9) = 4 سم. محيطه 8π سم، أي نحو 25.133 سم؛ وهو أصغر من محيط الدائرة العظمى 10π سم.

عندما h تساوي صفرًا نعود إلى الدائرة العظمى. وعندما تقترب h من R يصغر المقطع وتقترب قيمة المحيط من الصفر. وإذا زادت المسافة على R فلا يقطع المستوى الكرة، ولا يصح إدخال قيمة سالبة تحت الجذر ثم تسميتها نصف قطر حقيقي.

المحيط ومساحة السطح والحجم: ثلاثة مقادير

المحيط طول مسار دائري، ومساحة السطح مقدار يغطي السطح الخارجي كله، والحجم مقدار الحيز داخل الكرة. ارتفاع الأس في القانون مرتبط بنوع المقدار؛ وحدة المساحة مربعة ووحدة الحجم مكعبة. لا نستعمل 4πR³ لمساحة سطح الكرة. ^[3]

كذلك مساحة الدائرة العظمى نفسها πR²، وهي تختلف عن مساحة سطح الكرة. في مثالنا تبلغ مساحة الدائرة 25π سم²، بينما مساحة سطح الكرة 100π سم². كون الدائرة تقع على الكرة لا يجعلها سطح الكرة كاملًا. ^[2][3]

خطوات سريعة قبل التعويض

• حدد: هل المطلوب دائرة عظمى أم دائرة قطع أصغر؟
• تحقق هل المعطى نصف قطر أم قطر، ووحدهما في نظام قياس واحد.
• اختر قانون الطول للمحيط، ثم اكتب وحدة طول بعد الناتج.
• احتفظ بالرمز π في الخطوات، وقرّب في النهاية فقط إذا طلب ذلك.

لو كان السؤال عن شريط يحيط بمنتصف كرة مثالية على مستوى يمر بمركزها، نستخدم الدائرة العظمى. أما شريط فوق المنتصف فقد يتبع دائرة أصغر. هذا التحديد البسيط يسبق الحساب، ويمنع إعطاء القيمة نفسها لمواضع مختلفة على الكرة.