قانون شبه المكعب: الحجم ومساحة السطح والأقطار

ما هو شبه المكعب؟

لمتوازي المستطيلات ستة أوجه وثمانية رؤوس واثنا عشر حرفًا، والزوايا بين الأوجه المتجاورة قائمة. نكتب أبعاده l للطول و w للعرض و h للارتفاع. لكل وجه وجه مقابل مماثل له، ولذلك توجد ثلاثة أزواج من الأوجه. ^[2]

لا يشترط أن يكون الطول أكبر من العرض في الحساب؛ أسماء الأبعاد تساعدنا على وصف المجسم. إذا جعلنا القاعدة الوجه الذي أبعاده l و w، فارتفاعه العمودي h. تغيير الوجه الذي نعده قاعدة لا يغير الحجم أو المساحة الكلية، لكنه يغير تقسيم المساحة إلى جانبية وقاعدتين.

قانون الحجم وتفسيره

حجم متوازي المستطيلات V = lwh. يمكن فهمه من مساحة القاعدة lw مضروبة في الارتفاع h. إذا كانت الأطوال بالسنتيمتر تكون وحدة الحجم سم³. ينبغي توحيد وحدات الأبعاد قبل الضرب. ^[1]

لصندوق مثالي أبعاده 7 سم و 4 سم و 3 سم، مساحة القاعدة 7 × 4 = 28 سم²، والحجم V = 28 × 3 = 84 سم³. لو كان الارتفاع مجهولًا وحجم المجسم 84 سم³، نحسبه h = V/(lw) = 84/28 = 3 سم.

الحجم الخارجي للمجسم لا يساوي دائمًا كمية المادة المصنوع منها، ولا سعة تجويفه. القانون يحسب حجم متوازي المستطيلات الذي حددنا أبعاده؛ لذلك يجب وصف أي حيز تقيسه هذه الأبعاد.

مساحة السطح: ثلاثة أزواج من الأوجه

للوجهين العلوي والسفلي مساحة مجموعها 2lw، ولوجهين آخرين 2lh، وللوجهين الباقيين 2wh. بجمعها نحصل على S = 2(lw + lh + wh). الوحدة هنا سم² أو وحدة مساحة أخرى، وليست وحدة حجم. ^[1][2]

إذن المساحة الكلية S = 56 + 42 + 24 = 122 سم². تبين الشبكة أن العامل 2 يحسب الوجه المقابل لكل وجه. لا نحصل على السطح بضرب الطول والعرض والارتفاع؛ ذلك يعطي الحجم.

المساحة الجانبية والصندوق المفتوح

إذا كانت القاعدة مستطيلًا أبعاده l و w، فمحيطها 2(l + w). المساحة الجانبية تساوي هذا المحيط في الارتفاع: S_lateral = 2h(l + w). في مثالنا 2 × 3 × (7 + 4) = 66 سم². لا نستعمل 2lw لمحيط المستطيل؛ فهو مجموع مساحتي القاعدتين.

صندوق رقيق مثالي مفتوح من الأعلى له خمسة أوجه. نحذف مساحة الوجه العلوي lw = 28 من السطح الكامل: S_open = 122 − 28 = 94 سم². ويمكن الوصول إلى النتيجة نفسها بإضافة القاعدة إلى الجوانب: 28 + 66 = 94.

هذا حساب لمساحة الأوجه الهندسية فقط. إذا كنت ستقص مادة لصنع الصندوق، فقد تحتاج هوامش وصل أو طيات؛ لا تدخل هذه الزيادات في القانون إلا إذا كانت أبعادها محددة في المسألة.

قطر الوجه والقطر الداخلي

قطر الوجه المستطيل ذي البعدين l و w هو d_face = √(l² + w²). أما قطر المجسم الذي يصل بين رأسين متقابلين داخله فيساوي d_space = √(l² + w² + h²). يظهر الحد الثالث عند تطبيق فيثاغورس مرة ثانية على قطر القاعدة والارتفاع. ^[2]

في مثالنا قطر القاعدة √(49 + 16) = √65 ≈ 8.062 سم، وقطر المجسم √(49 + 16 + 9) = √74 ≈ 8.602 سم. الثاني أطول لأنه يضم الارتفاع أيضًا. وإذا كان السؤال عن قضيب يدخل صندوقًا، يجب استعمال الأبعاد الداخلية المتاحة للقضيب.

مثال السعة مع وجود سمك للجدران

افترض أن أبعاد صندوق مفتوح الخارجية 7 و 4 و 3 سم، وأن سمك الجدران والقاعدة 0.2 سم، مع جوانب منتظمة تتبع هذا النموذج الهندسي. الطول الداخلي 7 − 2(0.2) = 6.6 سم، والعرض الداخلي 4 − 2(0.2) = 3.6 سم. نطرح سمك القاعدة مرة واحدة من الارتفاع لأن الأعلى مفتوح، فيكون 3 − 0.2 = 2.8 سم.

السعة حتى الحافة وفق هذا النموذج 6.6 × 3.6 × 2.8 = 66.528 سم³. أما الحجم الخارجي فظل 84 سم³. الفرق 84 − 66.528 = 17.472 سم³ هو حجم المادة في القاعدة والجدران تحت الافتراضات نفسها؛ ليس مساحة سطحها.

قبل التعويض اسأل: هل نحسب حيزًا أو سطحًا أو طول قطر؟ وهل المجسم مغلق أو مفتوح؟ وهل الأبعاد خارجية أو داخلية؟ إجابة هذه الأسئلة تختار القانون، ثم يأتي الحساب.