طرق حل المعادلات بالمصفوفات: غاوس لثلاثة مجاهيل

من المعادلات إلى المصفوفة الموسعة

نثبت ترتيب المجهولات في الأعمدة؛ مثلًا x,y,z. المصفوفة الموسعة تضم معاملات كل معادلة ثم ثابت طرفها الآخر، بينما مصفوفة المعاملات وحدها لا تتضمن عمود الثوابت. ^[1]

اخترنا النظام 2y+z=1، و x−y+2z=9، و 2x+y−z=0. بترتيب الأعمدة x,y,z تصبح صفوف المصفوفة الموسعة [0,2,1|1] و [1,−1,2|9] و [2,1,−1|0]. الصفر في أول صف يسجل غياب حد x؛ لا نحذف عموده فنزيح بقية المعاملات.

في هذا المثال مصفوفة المعاملات من النوع 3×3، والموسعة 3×4. العمود الرابع للثوابت، وليس لمجهول رابع. يمكن اختبار ترتيب أي صف بكتابته مرة أخرى كمعادلة.

المحور الصفري: بدّل الصفوف أولًا

تبديل صفين، أو ضرب صف في عدد غير صفري، أو إضافة مضاعف صف إلى آخر، عمليات تحفظ مجموعة الحلول. تشمل العملية الطرف الأيمن أيضًا. ^[1]

لا نقسم على الصفر في أول خانة. نبدل الصفين الأول والثاني، فيصبح الأول [1,−1,2|9]، والثاني [0,2,1|1]. ثم نحذف معامل x من الثالث بالعملية R3←R3−2R1، فنحصل على [0,3,−5|−18].

احسب العمود الأخير كما تحسب بقية الأعمدة: 0−2×9=−18. ولو أبقيته صفرًا بينما عدلت المعاملات، لأنتجت نظامًا مختلفًا. تبديل الصفين هنا اختيار حسابي لمعالجة المحور؛ لا يبدل أسماء المجهولات.

احذف متغيرًا آخر ثم عُد من الأسفل

لإزالة y من الصف الثالث، نضربه كله في 2 ثم نطرح 3 أمثال الصف الثاني: 2[0,3,−5|−18]−3[0,2,1|1]=[0,0,−13|−39]. لذلك −13z=−39، ومنه z=3.

من الصف الثاني 2y+z=1 نحصل على 2y+3=1، ثم y=−1. ومن الأول x−y+2z=9 نحصل على x+1+6=9، فيكون x=2. نكتب الحل مرتبًا (x,y,z)=(2,−1,3).

يسمى الرجوع إلى المعادلات من الصف الأخير التعويض الخلفي. ^[1] لا يلزم في مثالنا تصفير الخانات الواقعة فوق المحاور حتى نعرف الحل؛ وقد فعلنا قبل الخطوة الأخيرة عمليتين متتاليتين: مضاعفة الثالث، ثم طرح مضاعف الثاني.

تحقق من المعادلات الأصلية

تُحقق القيم الثلاث الشروط كلها. أما فحص الصف الأخير وحده فلا يكشف خطأ سابقًا في معامل x أو y. لو كتبت y=1 خطأ، فستعطي الأولى 5 بدل 1؛ لذلك يعود الفحص إلى البداية.

متى أستخدم معكوس المصفوفة؟

نكتب النظام AX=b؛ حيث A للمعاملات، و X عمود المجهولات، و b عمود الثوابت. إذا كانت A مربعة ولها معكوس، فالضرب من اليسار يعطي X=A⁻¹b. ليست كل مصفوفة مربعة قابلة للعكس. ^[2]

عدم وجود المعكوس لا يعني بمفرده أن النظام بلا حل؛ قد يكون متناقضًا أو ذا حلول غير وحيدة. ^[2] لذلك لا نستبدل دراسة الصفوف بعبارة «المعكوس غير موجود» ثم نقرر جوابًا واحدًا.