حل المعادلات التفاضلية الجزئية بفصل المتغيرات: مثال معادلة الحرارة

حدد المعادلة والظروف أولًا

ليكن u(x,t) فرق درجة الحرارة عن درجة مرجعية ثابتة. في النموذج المختار تعتمد u على الموضع x والزمن t، ونكتب u_t=κu_xx. يرمز u_t إلى الاشتقاق الجزئي بالنسبة للزمن مع ثبات الموضع، ويرمز u_xx إلى الاشتقاق المكاني الثاني. κ معامل الانتشار الحراري، ووحدته م²/ث. ^[1]

يفترض النموذج قضيبًا منتظمًا، وجوانب معزولة، وعدم وجود مصدر حراري داخلي، ومعاملًا ثابتًا موجبًا. لا تعني هذه الافتراضات أن كل انتقال للحرارة في جسم حقيقي أحادي البعد بهذه الدقة. ^[1]

في مثالنا الأصلي طول القضيب L=1 m، ونختار للتدريب κ=0.02 m²/s. تثبت حرارة الطرفين عند المرجع: u(0,t)=u(L,t)=0. ونعطي التوزيع الابتدائي u(x,0)=30 sin(πx/L) درجة فرق. هذه بيانات مفترضة مريحة للحساب، وليست خواص مادة معينة.

شرط الطرفين يصف الحد المكاني في كل زمن، أما الشرط الابتدائي فيصف القضيب كله عند t=0. تتوافق البيانات؛ لأن التوزيع الابتدائي يساوي صفرًا عند الطرفين. ^[2]

افترض حاصل ضرب دالتين

نبحث عن حل على الصورة u(x,t)=X(x)T(t). تتغير X مع المكان وحده، وتتغير T مع الزمن وحده. بالتعويض يصبح XT′=κX″T. وحيث يكون حاصل الضرب غير صفري نقسم فنحصل على T′/(κT)=X″/X.

طرف المعادلة الأول لا يعتمد على x، والثاني لا يعتمد على t، لذلك يجب أن يتساويا بثابت فصل على منطقة مناسبة. نكتبه −λ لتسهيل صياغة المسألة: X″+λX=0 و T′+κλT=0. ^[1][2]

لا نحتاج أن نقسم عند نقاط انعدام X، مثل الطرفين. نشتق المعادلتين في الداخل المناسب ثم نتحقق من الحل النهائي في المعادلة الأصلية وعلى الحدود؛ وهذا يمنع تجاهل نقاط الصفر بسبب خطوة القسمة.

شروط الطرفين تحدد الأشكال المكانية

للحلول غير الصفرية، تفرض شروط الطرفين X(0)=X(L)=0. إذا كانت λ موجبة، فالحل المكاني يحوي جيبًا وجيب تمام. الشرط الأول يحذف جزء جيب التمام، والثاني يفرض √λ L=nπ حيث n عدد صحيح موجب. ^[2]

إذن λ_n=(nπ/L)² و X_n(x)=B_n sin(nπx/L). هذه قيم ذاتية وأشكال مكانية تناسب شروط الطرفين. في هذه المسألة لا تعطي λ الصفرية أو السالبة شكلًا غير صفري يحقق الشرطين.

ومن المعادلة الزمنية يكون العامل T_n(t)=C_n exp[−κ(nπ/L)²t]. يتناقص مع الزمن لأن κ وλ_n موجبتان. الحل ذو النمط n هو حاصل ضرب العامل الزمني بالشكل المكاني. ^[1]

اختر النمط الذي يحقق البداية

شرط البداية في مثالنا هو جيب واحد من النمط الأول، لذلك يكفي n=1 ومعامل ابتدائي 30. نحصل على u(x,t)=30 exp[−κ(π/L)²t] sin(πx/L).

مع القيم الافتراضية L=1 وκ=0.02، وإذا كتبنا x عدديًا بالمتر و t بالثانية، تختصر الصيغة إلى u(x,t)=30 exp(−0.02π²t) sin(πx). الصورة ذات L تضمن أن حجج الجيب والأس بلا وحدة؛ والصورة المختصرة تفهم ضمن الوحدات المحددة.

عند منتصف القضيب x=0.5 m يكون الجيب 1. وعند t=5 s تصبح القيمة 30 exp(−0.1π²)≈11.18 درجة فرق. وعند t=10 s تصبح 30 exp(−0.2π²)≈4.17 درجة فرق.

هذه القيم فروق عن المرجع، فلا نسميها درجات حرارة مطلقة دون معرفة المرجع. الأطراف تبقى عند فرق صفر، والمنحنى كله يتناقص في هذا المثال دون تغيير شكل الجيب النسبي.

تحقق من الحل بدل الاكتفاء بالشكل

من الصيغة ذات L نحصل على u_t=−κ(π/L)²u، ومن الاشتقاق المكاني مرتين على u_xx=−(π/L)²u. لذلك κu_xx=−κ(π/L)²u=u_t، فتتحقق المعادلة لكل موضع داخلي وزمن مناسب.

وعند x=0 أو x=L يساوي الجيب صفرًا، فتتحقق شروط الحدود. وعند t=0 يساوي العامل الأسي 1، فترجع القيمة إلى 30 sin(πx/L) كما يطلب الشرط الابتدائي.

المراجعة تشمل ثلاثة أمور مستقلة: المعادلة، والحدود، والبداية. دالة تحقق المعادلة وحدها قد تصف مسألة أخرى إذا لم تحقق البيانات المعطاة. ^[2]

ماذا إذا كانت البداية مختلفة؟

إذا لم يكن التوزيع الابتدائي جيبًا واحدًا، فقد نحتاج تركيب أنماط عدة. خطية المعادلة وشروط الحدود المتجانسة تسمح بجمع الحلول المناسبة، ثم تختار معاملات الأنماط لتمثيل البداية، غالبًا بسلسلة فورييه. ^[1][2]

صلاحية السلسلة واشتقاقها وتحقيقها للبداية تحتاج شروطًا رياضية؛ لا يكفي كتابة مجموع بلا تحقق. كما أن حدودًا غير متجانسة أو معاملًا متغيرًا أو هندسة مختلفة قد تحتاج تحويلًا إضافيًا أو طريقة أخرى. المثال يشرح فصل المتغيرات في مسألة محددة، ولا يقدم خوارزمية تصلح لجميع المعادلات الجزئية. ^[2]