التحويلات العددية بين أنظمة العد تغير كتابة العدد، لا قيمته. تحدد الخانة وزن الرقم بحسب الأساس في النظام الموضعي. سنفحص ذلك بمثال عدد صحيح موجب. [1][2]
الأساس والرموز المسموحة
في الثنائي الأساس 2 والرمزان 0,1، وفي الثماني الأساس 8 والرموز 0…7. العشري يستعمل 0…9، والسداسي عشر يستعملها مع A,B,C,D,E,F للقيم 10,11,12,13,14,15. [1]
الأساس يكتب هنا صغيرًا بعد العدد: 173₁₀ غير 173₈. المثال الثاني قيمته 1×64+7×8+3=123 بالعشري؛ تشابه شكل الخانات لم يجعل القيمتين متساويتين.
نبدأ من الخانة اليمنى بوزن b⁰=1، ثم b¹ و b²، حيث b الأساس. نضرب كل رقم بوزن موضعه ونجمع؛ هذه طريقة قراءة القيمة في نظام موضعي. [2]
التحويل من عشري إلى ثنائي بالقسمة
للعدد الصحيح الموجب، نقسم على الأساس ونكرر القسمة بالخارج الصحيح حتى يصبح صفرًا. نسجل الباقي كل مرة، ثم نقرأ البواقي من الأخيرة إلى الأولى؛ أول باقٍ يخص الخانة اليمنى. [1]
نختار 173₁₀. القسمة على 2 تعطينا الجدول التالي؛ العمود الأوسط خارج صحيح، لا خارج عشري:
| المقسوم | الخارج الصحيح عند القسمة على 2 | الباقي |
|---|---|---|
| 173 | 86 | 1 |
| 86 | 43 | 0 |
| 43 | 21 | 1 |
| 21 | 10 | 1 |
| 10 | 5 | 0 |
| 5 | 2 | 1 |
| 2 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
نقرأ عمود البواقي صعودًا: 10101101₂. وللتحقق نوسع القيمة: 1×128+0×64+1×32+0×16+1×8+1×4+0×2+1×1=173. الرسم الرئيسي يبين الأوزان التي أسهمت فعليًا في المجموع.
إلى الثماني والسداسي عشر بالطريقة نفسها
في مثالنا مع الأساس 8: 173=8×21+5، ثم 21=8×2+5، ثم 2=8×0+2. عكس ترتيب البواقي يعطينا 255₈. الفحص: 2×64+5×8+5=173.
ومع الأساس 16: 173=16×10+13، ثم 10=16×0+10. الباقيان 13 و 10 يكتبان D و A، فتكون النتيجة AD₁₆. الفحص: 10×16+13=173.
إذن 173₁₀ = 10101101₂ = 255₈ = AD₁₆. نضع الأساس مع كل كتابة كي يستطيع القارئ تفسير رموزها دون تخمين.
اختصار التحويل بتجميع الخانات الثنائية
بما أن 8=2³ و 16=2⁴، تقابل الخانة الثمانية ثلاث خانات ثنائية، والسداسية أربعًا. نبدأ التجميع من اليمين، ونكمل المجموعة اليسرى الناقصة بأصفار إلى يسارها؛ أصفار البداية لا تزيد القيمة. [1][2]
للسداسي عشر نقسم مثالنا 1010 | 1101: الأولى 8+2=10 فتكتب A، والثانية 8+4+1=13 فتكتب D. الناتج AD، موافق للقسمة السابقة.
وللثماني نضيف صفرًا في البداية: 010 | 101 | 101. قيم المجموعات 2,5,5، فنحصل على 255. احتفظ بالاتجاه الصحيح: المجموعة اليمنى تخص أقل وزن، ولا نعكس ترتيب المجموعات نفسها.
كيف تراجع نتيجة التحويل؟
في تدريب آخر، هل 18₈ كتابة مسموحة؟ لا؛ الرقم 8 خارج رموز الثماني المذكورة. وهل 10₂ يعني عشرة بالعشري؟ حسابه 1×2+0=2 يبين الفرق.
افحص الرموز، ثم أوزان الخانات، ووسع النتيجة بالعشري. المثال يخص عددًا صحيحًا موجبًا؛ الكسور والإشارات تحتاج إلى طريقة مناسبة.
المصادر ومتابعة القراءة
- Runestone Academy: القسمة المتكررة والتحويل إلى أساس آخر (يفتح في نافذة جديدة)runestone.academy
- Runestone Academy: قيمة المنزلة والتمثيل الثنائي للأعداد الصحيحة (يفتح في نافذة جديدة)dev.runestone.academy
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.