إثبات نظرية فيثاغورس بالمساحات: لماذا يصح البرهان؟

ابدأ بالمثلث وبأربع نسخ منه

نفرض a>0,b>0. رتّب النسخ في زوايا مربع ضلعه a+b. يبقى رباعي أضلاعه أوتار النسخ، كلها c. ^[1]

لا نبدأ من شكل غير قائم ثم نفترض النتيجة له. علامة 90 درجة في كل زاوية خارجية هي فرض البناء، وليست استنتاجًا من تطابق الألوان.

لماذا الرباعي الداخلي مربع؟

نرمز للزاويتين الحادتين بالرمزين α,β. لأن مجموع زوايا المثلث المستوي 180 درجة وفيه زاوية قائمة، إذن α+β=90°. ^[2]

عند كل رأس داخلي، زاويته مع α,β تكوّن 180 درجة، فتساوي 180°−(α+β)=90°. الأضلاع متساوية والزوايا قائمة؛ إذن الرباعي مربع. ^[1][2]

نعرف تساوي الأوتار من تطابق النسخ، فلا نفترض العلاقة المراد إثباتها أثناء البناء.

نحسب المساحة بطريقتين

مساحة كل مثلث قائم ab/2، لأن ضلعي القائمة قاعدة وارتفاع عمودي. لذلك مساحة المثلثات الأربع 4×ab/2=2ab. ^[3]

المربع الخارجي مساحته (a+b)²، وهي مجموع المثلثات والمربع الداخلي: (a+b)²=2ab+c². نفك الطرف الأيسر a²+2ab+b²، ثم نحذف 2ab من الطرفين، فتبقى a²+b²=c². ^[1]

البرهان رمزي عام؛ نجاح مثال عددي لا يغني عنه.

مثال أصلي: أين تذهب المساحة؟

اخترنا ضلعي قائمة 20 و 21 وحدة. ضلع المربع الخارجي 41، ومساحته 41²=1681 وحدة مربعة. كل مثلث مساحته 20×21/2=210، فمساحة النسخ الأربع 840.

المساحة الباقية للمربع الداخلي 1681−840=841. ومن ثم طول ضلعه، وهو الوتر، √841=29 وحدة. راجع 20²+21²=400+441=841=29².

هنا تحققنا من عددين اخترناهما. لا يغني نجاح هذا المثال عن البرهان العام السابق؛ مثال واحد لا يثبت حكمًا على جميع الأطوال.

شروط ومراجعة تمنع الخطأ

الوتر يقابل الزاوية القائمة. ^[1]

في المثال 20 و 21 لا نجمع الطولين لإيجاد الوتر؛ 41 طول جانب الإطار فقط. وللوتر 29 وحدة طول، بينما 841 وحدة مربعة مساحة المربع المبني عليه.

في مثال آخر ضلعا القائمة 3 و 4 يعطيان مربعًا داخليًا مساحته 25 ووترًا 5؛ هذه نتيجة عددية إضافية وليست برهانًا جديدًا. ولا يلزم أن يكون الوتر عددًا صحيحًا؛ فمع ضلعي قائمة 1 و 1 تكون المساحة 2 وطول الوتر √2.

المساحة تقاس بوحدات مربعة. ^[3]