معامل الارتباط في الإحصاء يلخص جانبًا من العلاقة بين متغيرين. يركز معامل بيرسون على العلاقة الخطية، وتتراوح قيمته بين −1 و 1 حين يكون معرفًا. لا تقرأ الرقم وحده دون مخطط الأزواج؛ فقد يخفي ارتباطًا منحنيًا أو ملاحظة غير معتادة. [1][2][3]
الأزواج والإشارة قبل الحساب
يمثل كل صف مشاهدة واحدة لها قيمة x وقيمة y. الإشارة الموجبة في بيرسون تقابل اتجاهًا خطيًا صاعدًا، والسالبة اتجاهًا هابطًا. والقيمتان 1 و −1 تمثلان علاقة خطية تامة، بينما الصفر لا يدل على علاقة خطية. [1][2]
المخطط المبعثر يساعد على رؤية الشكل والملاحظات البعيدة عنه. انظر إلى النقاط قبل تسمية الرقم «قويًا»؛ حدود هذه الأوصاف تتغير بحسب السؤال والبيانات، وليست نسبة مئوية تفسر نفسها. [3]
صيغة بيرسون
نحسب المتوسطين x̄ و ȳ، ثم Sxx = Σ(xᵢ−x̄)²، و Syy = Σ(yᵢ−ȳ)²، و Sxy = Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ). الصيغة هي r = Sxy/√(Sxx Syy)، مع جمع جميع الأزواج نفسها. [1]
إذا كان أحد المتغيرين ثابتًا، يصبح أحد مجموعي المربعات صفرًا، فلا يكون بيرسون معرفًا. هذه حالة مختلفة عن الحصول على صفر من مقام غير صفري؛ لا نسميها «ارتباطًا معدومًا». [2]
مثال أصلي بأربع مشاهدات
نختار الأزواج في الجدول، فنحصل على x̄ = (1+2+3+4)/4 = 2.5 و ȳ = (2+3+2+5)/4 = 3. الوحدات غير محددة لأن الأعداد تدريب حسابي، لا نتائج تجربة.
| x | y | x−2.5 | y−3 | جداء الانحرافين |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | −1.5 | −1 | 1.5 |
| 2 | 3 | −0.5 | 0 | 0 |
| 3 | 2 | 0.5 | −1 | −0.5 |
| 4 | 5 | 1.5 | 2 | 3 |
إذن Sxx = 2.25+0.25+0.25+2.25 = 5، و Syy = 1+0+1+4 = 6، و Sxy = 1.5+0−0.5+3 = 4. بالتعويض: r = 4/√30 ≈ 0.7303.
الإشارة موجبة، لكن النقاط لا تقع على مستقيم واحد. لا نحول القيمة إلى «73% من المشاهدات مترابطة»؛ الناتج هنا معامل وفق الصيغة، وليس تعدادًا للمشاهدات.
صفر بيرسون قد يرافق علاقة واضحة
نختار x = −2,−1,0,1,2 و y = 4,1,0,1,4؛ أي y=x² في هذه النقاط. المتوسطان x̄=0 و ȳ=2. مجموع الجداءات هو (−2)(2)+(−1)(−1)+0(−2)+1(−1)+2(2)=0.
وفي المثال Sxx=10 و Syy=14، فيكون r=0/√140=0. مع ذلك يتحدد كل y من x²، ويظهر شكل منحني واضح. الصفر لم يلغ هذه العلاقة؛ هو نتيجة حساب الارتباط الخطي لهذه الأزواج المختارة.
توضح وثائق بيرسون أن غياب الارتباط لا يضمن استقلال المتغيرين، وأن العلاقات غير الخطية قد لا تظهر في هذا المعامل. لذلك لا نعمم «صفر» إلى «لا توجد أي علاقة». [2]
الارتباط لا يثبت السبب
حتى عند وجود اتجاه واضح، لا يكفي المخطط المبعثر أو معامل الارتباط لإثبات أن تغير أحد المتغيرين سبب تغير الآخر. الاستدلال السببي يحتاج تصميمًا وأدلة أخرى. [3]
قبل كتابة النتيجة، اسأل: هل الأزواج مطابقة للمشاهدات؟ هل أحد المتغيرين ثابت؟ هل الشكل خطي أم منحني؟ ثم صف ما يدعمه المعامل والمخطط دون تجاوزهما.
المصادر ومتابعة القراءة
- NIST: صيغة معامل الارتباط الخطي لبيرسون (يفتح في نافذة جديدة)itl.nist.gov
- SciPy: مدى بيرسون والمدخل الثابت والعلاقة غير الخطية (يفتح في نافذة جديدة)docs.scipy.org
- NIST: قراءة المخطط المبعثر وحدود الاستدلال السببي (يفتح في نافذة جديدة)itl.nist.gov
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.