مسائل لحساب مساحة الأسطوانة: مغلقة أم بلا غطاء؟

ما الذي نحسبه في كل حالة؟

عند فرد الجانب المنحني للأسطوانة القائمة ينتج مستطيل، طوله محيط القاعدة 2πr وعرضه الارتفاع h. لذلك مساحته 2πrh. أما مساحة دائرة القاعدة الواحدة فهي πr². نجمع الأسطح المطلوبة حسب وصف المسألة. ^[1]

هذه نماذج هندسية لسماكة مهملة. إذا طلب السؤال مساحة ملصق يحيط بالجانب، فلا نضيف القاعدتين؛ وإذا وصف وعاءً بلا غطاء ونحسب مادته المثالية، نضيف القاعدة السفلى فقط.

مسألة واحدة وثلاث إجابات صحيحة

نصف قطر أسطوانة 2.5 سم وارتفاعها 9 سم. مساحة جانبها 2π×2.5×9=45π سم²، ومساحة قاعدة واحدة π×2.5²=6.25π سم². نحتفظ بـ π حتى تنتهي العمليات، ثم نقرب إذا طلب السؤال ذلك.

مساحة سطحها المغلق 45π+2×6.25π=57.5π≈180.64 سم². وإذا كانت بلا غطاء، تصبح 45π+6.25π=51.25π≈161.01 سم². أما الجانب وحده فمساحته 45π≈141.37 سم². الفرق سببه الأسطح المحتسبة، مع ثبات نصف القطر والارتفاع.

مسألة عكسية: أوجد الارتفاع

أسطوانة نصف قطرها 3 سم ومساحتها الجانبية 72π سم². من 72π=2π×3×h نقسم على 6π، فنجد h=12 سم. للتأكد نعيد التعويض: 2π×3×12=72π سم².

لو كانت 72π هي المساحة الكلية، لا الجانبية، لا نستخدم المعادلة السابقة مباشرة؛ إذ يجب طرح مساحتي القاعدتين أولًا في نموذج الأسطوانة المغلقة. قراءة اسم المعطى جزء من الحل.

لماذا يسبب القطر خطأ كبيرًا؟

إذا ذكر السؤال القطر 5 سم، فنصف القطر 2.5 سم. إدخال 5 مكان r يضاعف حساب المساحة الجانبية عند ثبات الارتفاع، ويجعل مساحة القاعدة أربعة أمثال قيمتها. لهذا نكتب هل المعطى قطر أم نصف قطر قبل التعويض.

كذلك لا نخلط المساحة بالسعة. ظهور سم² يعني سطحًا، وظهور سم³ يعني حجمًا. وقد يطلب السؤال الاثنين للأسطوانة نفسها، لكن كلًا منهما يحتاج إلى عملية مختلفة.

تدريب للمراجعة

احسب مقدار الزيادة إذا أغلقنا النموذج المفتوح بغطاء دائري نصف قطره 2.5 سم. الجواب مساحة دائرة واحدة، أي 6.25π≈19.63 سم². وهو يساوي الفرق بين 180.64 و 161.01 بعد التقريب؛ الأفضل طرح القيم الدقيقة قبل تقريبها.