حجم المنشور الثلاثي يساوي مساحة قاعدته المثلثة مضروبة في المسافة العمودية بين القاعدتين. وفي المنشور القائم، تكون الأوجه الجانبية مستطيلات، فتساوي المساحة الكلية مجموع مساحتي المثلثين ومساحات المستطيلات الثلاثة. يحتاج الحساب إلى فصل ارتفاع المثلث عن طول المنشور. [1]
ماذا نعني بمنشور قائم؟
للمنشور الثلاثي قاعدتان مثلثتان متطابقتان متوازيتان، وثلاثة أوجه جانبية. قيام المنشور يعني أن حوافه الجانبية عمودية على القاعدتين، فتكون الأوجه الجانبية مستطيلات. لا يعني ذلك أن كل مثلث قاعدة قائم الزاوية.
نسمي طول قاعدة المثلث b وارتفاعه العمودي عليها h، والمسافة بين قاعدتي المنشور L. عندها مساحة المثلث B = bh/2، وحجم المنشور V = BL. القيم h و L ليستا ارتفاعًا واحدًا. [1]
احسب الحجم في مثال واضح
نختار مثلث قاعدة قائمًا ضلعاه العموديان 6 و 8 سم ووتره 10 سم، ومنشورًا طوله 11 سم. مساحة القاعدة B = 6×8/2 = 24 cm²، والحجم V = 24×11 = 264 cm³.
استخدمنا 8 و 6 لأنهما متعامدان. لا نضرب الوتر 10 في 6 بوصفهما قاعدة وارتفاعًا دون تحقق من التعامد. وإذا تغير طول المنشور وحده إلى 22 سم يتضاعف الحجم إلى 528 سم³.
المساحة الجانبية والكلية
تساوي المساحة الجانبية محيط المثلث P مضروبًا في L: Aₗ = PL. ثم نضيف قاعدتين: Aₜ = PL + 2B. كل حد هنا مساحة لا حجم. [1]
محيط مثلثنا 6+8+10 = 24 cm. إذن الجانبية 24×11 = 264 cm²، والكلية 264 + 2×24 = 312 cm².
صادف أن رقم الحجم والجانبية 264 في هذا المثال، لكن الوحدتين مختلفتان. لا يجوز التعامل مع 264 سم³ بوصفها مساحة تغطية.
راجع الحساب عبر الشبكة
| الوجه | الأبعاد | المساحة |
|---|---|---|
| مستطيل جانبي أول | 6×11 | 66 سم² |
| مستطيل جانبي ثانٍ | 8×11 | 88 سم² |
| مستطيل جانبي ثالث | 10×11 | 110 سم² |
| مثلثان | 2×(6×8/2) | 48 سم² |
المجموع 66+88+110+48 = 312 cm²، وهو مطابق للقانون المختصر. الشبكة التالية تجمع المستطيلات الثلاثة والمثلثين دون نسخ رسم من مرجع.
هل يكفي أن نعرف مساحة المثلث؟
معرفة مساحة القاعدة وطول المنشور تكفي للحجم. أما المساحة الجانبية فتحتاج محيط القاعدة أيضًا؛ قد يتساوى مثلثان في المساحة وتختلف أطوال أضلاعهما.
اقرأ المطلوب ثم حدد البيانات المناسبة: مساحة المثلث للحجم، ومساحته ومحيطه للسطح. وحّد الأطوال قبل الحساب، واكتب سم² أو سم³ بحسب نوع الجواب.
المصادر ومتابعة القراءة
- Roy Simpson: حجم المنشور القائم ومساحة سطحه بوحدات مكعبة ومربعة (يفتح في نافذة جديدة)math.libretexts.org
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.