تحليل كثيرات الحدود يعني إعادة كتابة المقدار على صورة حاصل ضرب عوامل تعطيه عند التوزيع. تبدأ غالبًا بالبحث عن عامل مشترك لكل الحدود، ثم تفحص نمط المقدار المتبقي. والتحليل وحده لا يطلب إيجاد قيمة المتغير؛ ذلك سؤال آخر عندما تكون لدينا معادلة. [1]
أخرج العامل المشترك أولًا
للمقدار 6x² + 24x، يشترك الحدّان في 6 وفي x. إذن 6x² + 24x = 6x(x+4). داخل القوس نكتب حاصل قسمة كل حد على العامل المستخرج؛ لا نحذف x من أحد الحدود ونتركه دون سبب في الآخر. [1]
للمتغير المشترك نختار أصغر أس موجود في كل الحدود. إذا وجدت حدودًا x⁴ و x² و x، فالعامل المتغير المشترك هو x، لا x⁴. أما حد ثابت غير صفري ضمن المقدار فقد يمنع إخراج عامل x من الجميع.
بعد إخراج العامل، تابع فحص القوس. مثال 3x²−12 = 3(x²−4) = 3(x−2)(x+2). التوقف عند 3(x²−4) يفوت فرق مربعين ظاهرًا في القوس. [2]
التجميع عندما يظهر قوس مشترك
خذ x³ + 4x² − 2x − 8. نجمع أول حدين وآخر حدين: x²(x+4) − 2(x+4). القوس x+4 مشترك، فنحصل على (x+4)(x²−2). التوزيع يعيد الحدود الأصلية الأربعة. [1]
إخراج −2 من آخر حدين يعطي −2(x+4)، لا −2(x−4). الإشارة السالبة توزع على كل ما في القوس. وقد تحتاج إلى ترتيب الحدود بطريقة أخرى قبل ظهور القوس المشترك.
اختيار مجال المعاملات جزء من السؤال: على الأعداد الحقيقية يمكن متابعة x²−2 = (x−√2)(x+√2). أما إذا طلبت عوامل بمعاملات صحيحة، فلا تعد √2 معاملًا صحيحًا. لا نصف تحليلًا بأنه «نهائي» دون معرفة هذا القيد.
فرق مربعين لا مجموعهما
الهوية A²−B² = (A−B)(A+B). في 25x²−16 نقرأ الحدين (5x)² و 4²، فنحصل على (5x−4)(5x+4). عند التوزيع يختفي الحدّان المختلطان، ويبقى 25x²−16. [2]
أما (5x−4)² فيساوي 25x²−40x+16، فلا يعوض العاملين المختلفين. وكذلك x²+9 ليس فرق مربعين؛ لا نستعمل له (x−3)(x+3) الذي يساوي x²−9.
رسم المساحة داخل المقال يشرح الهوية عند A>B>0: نحذف مربعًا صغيرًا ثم نعيد ترتيب الباقي إلى مستطيل ضلعيه A−B و A+B. الجبر يثبت الهوية أيضًا دون شرط الأطوال الموجبة.
فرق المكعبين له قوس ثلاثي
الهوية A³−B³ = (A−B)(A²+AB+B²). للمقدار 8x³−27 نختار A=2x و B=3، فتكون النتيجة (2x−3)(4x²+6x+9). [2]
يمكن التحقق بالتوزيع: حاصل ضرب 2x في القوس هو 8x³+12x²+18x، وضرب −3 فيه هو −12x²−18x−27. بجمعهما تلغى الحدود الوسطى.
ولمجموع المكعبين تتغير العلامتان: A³+B³ = (A+B)(A²−AB+B²). لا تحول الفرق إلى مكعب فرق؛ (A−B)³ يحتوي حدودًا أخرى. [2]
كيف تعرف أن التحليل صحيح؟
وزع العوامل واجمع الحدود المتشابهة، ثم قارن كل معامل وإشارة بالمقدار الأصلي. التعويض بقيمة واحدة للمتغير قد يكشف خطأ، لكنه لا يثبت تطابق كثيرتي حدود لجميع القيم.
عند طلب تحليل 6x²+24x لا نكتب x=0 أو x=−4 بوصفهما الناتج؛ هذه حلول للمعادلة 6x(x+4)=0. وفي حل معادلة لا يجوز تقسيم الطرفين على x قبل فحص احتمال x=0، كي لا تضيع حلًا.
رتب عملك: مشترك لجميع الحدود، ثم نمط خاص أو تجميع، ثم فحص التوزيع وشروط مجال المعاملات. إذا لم يظهر عامل مناسب، فلا تخترع أقواسًا لأن كل المسائل السابقة كانت قابلة للتحليل.
المصادر ومتابعة القراءة
- OpenStax: العامل المشترك وخاصية التوزيع والتجميع (يفتح في نافذة جديدة)openstax.org
- OpenStax: فرق المربعين والمكعبات وفحص الأنماط (يفتح في نافذة جديدة)openstax.org
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.