تحليل العدد إلى عوامله الأولية بشجرة العوامل والقسمة المتتابعة

ما العدد الأولي؟

العدد الأولي عدد صحيح أكبر من 1 له قاسمان موجبان فقط: 1 ونفسه. العدد 7 أولي؛ أما 12 فمركب لأن له قواسم أخرى. والعدد 1 ليس أوليًا لأنه يملك قاسمًا موجبًا واحدًا. ^[1]

التحليل الأولي يختلف عن كتابة قائمة القواسم. قواسم 84 تشمل 4 و 6 و 12، لكنها ليست كلها أعدادًا أولية. في حاصل الضرب النهائي نريد عوامل أولية فقط، ونحتفظ بتكرارها.

ابن شجرة للعدد 84

نبدأ بأي زوج مناسب: 84 = 12 × 7. العدد 7 أولي فنوقف هذا الفرع. نفكك 12 إلى 3×4، ثم 4 إلى 2×2. أصبحت نهايات الشجرة 3 و 2 و 2 و 7، وكلها أولية.

نجمع الأوراق في حاصل ضرب، دون ضرب الأعداد الوسيطة مرة أخرى: 84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7. الأس 2 يعني ظهور العامل 2 مرتين؛ لا يعني ضرب 2 في 2 ثم إضافة 3 و 7.

للمراجعة 4 × 3 × 7 = 84. إذا بدأت بشجرة 84=6×14، ستصل إلى 2×3 و 2×7، وهي العوامل نفسها مع ترتيب مختلف. ^[1]

استخدم القسمة المتتابعة بديلًا

نقسم 84 على 2 فنحصل على 42، ونقسم 42 على 2 فنحصل على 21. ثم نقسم 21 على 3 فنحصل على 7، وأخيرًا 7 على 7 فنحصل على 1. العوامل التي قسمنا عليها هي 2 و 2 و 3 و 7.

إذا لم يقبل العدد القسمة دون باقٍ على العامل الأولي الذي تختبره، انتقل إلى عامل أولي آخر. لا تسجل عاملًا أعطى باقيًا، ولا تتوقف عند عدد مركب مثل 21 لمجرد أنك نجحت في قسمتين.

الرسم الآتي يعرض الطريقة الثانية لنفس المثال حتى تستطيع مقارنة المراحل مع الشجرة، لا حفظ طريقتين منفصلتين.

مثال ثانٍ وأخطاء محتملة

للعدد 135: 135 = 5 × 27 = 5 × 3 × 3 × 3 = 3³ × 5. توقف 27 سيكون تحليلًا إلى عوامل، لكنه لم يكتمل إلى عوامل أولية.

• احتفظ بكل تكرار؛ حذف أحد العاملين 2 من تحليل 84 يعطي 42 فقط.
• اكتب حاصل ضرب لا مجموعًا؛ 2+2+3+7 ليس 84.
• استخدم الأس لعدد مرات ظهور العامل، وليس لعدد جميع الفروع.

قد يساعد التحليل بعد ذلك في إيجاد مضاعف مشترك أو تبسيط كسر، لكن المهم أولًا أن تتأكد من أولية العوامل وأن حاصل ضربها يعيد العدد الأصلي.