الجبر الخطي: المتجهات والمصفوفات والتحويلات بأمثلة

المتجه: إحداثيات يمكن جمعها

في المستوى نمثل المتجه بزوج مرتب، مثل u=(1,2). الإحداثي الأول يصف المركبة الأفقية، والثاني المركبة الرأسية. لا يلزم أن يكون المتجه دائمًا سهمًا ماديًا؛ نستخدم الأسهم هنا لفهم مثال هندسي بسيط. ^[1]

إذا كان v=(3,−1)، نجمع المركبات المناظرة: u+v=(1+3,2−1)=(4,1). وعند ضرب u في العدد 2 نحصل على 2u=(2,4). ثم 2u−v=(2−3,4−(−1))=(−1,5).

هندسيًا يمكن نقل سهم v ليبدأ من نهاية سهم u دون تغيير مركباته، فيكون سهم الجمع من بداية الأول إلى نهاية الثاني. والعدد الذي يضرب المتجه يسمى عددًا قياسيًا؛ العدد السالب يعكس الاتجاه في هذا التمثيل. ^[1]

متى تكون مجموعة فضاءً جزئيًا؟

المستوى ℝ² مع عمليتي الجمع والضرب المعتادتين مثال على فضاء متجهي حقيقي. ولتكون مجموعة من متجهاته فضاءً جزئيًا، يجب أن تحتوي المتجه الصفري، وتبقى داخل المجموعة عند جمع أي متجهين منها أو ضرب متجه منها في أي عدد حقيقي. ^[2]

مثلًا مجموعة المتجهات التي تحقق y=2x فضاء جزئي: تجمع (s,2s) و (t,2t) فتعطي (s+t,2(s+t))، ويظل الناتج على الخط نفسه. وضرب المتجه في c يعطي (cs,2cs)، والخط يحتوي (0,0).

أما مجموعة النقاط على y=2x+1 فلا تحتوي المتجه الصفري، ولذلك لا تكون فضاءً جزئيًا بالعمليات المعتادة. وجود متجهين في مجموعة لا يكفي وحده لتسميتها فضاءً متجهيًا؛ يجب فحص خصائص العمليات.

المصفوفة وتمثيل نظام المعادلات

المصفوفة جدول مستطيل من الأعداد أو الرموز. نقول إن مصفوفة لها صفان وعمودان من النوع 2×2. عند ضربها في متجه عمودي ذي مركبتين، نجمع حاصل ضرب عناصر كل صف في المركبات المناظرة. ^[4]

يمكن كتابة النظام 2x+y=7 و x−y=2 على الصورة Cz=b، حيث C=[[2,1],[1,−1]]، و z=(x,y) متجه عمودي، و b=(7,2) متجه عمودي. الفواصل بين المجموعتين داخل C تفصل صفوف المصفوفة.

الزوج (3,1) يحقق النظام، لأن 2×3+1=7 و 3−1=2. فائدة المصفوفة أنها تجمع معاملات النظام في بنية يمكن معالجتها بقواعد عامة، خاصة عندما يزداد عدد المعادلات والمجهولات.

كيف تحول المصفوفة شكلًا هندسيًا؟

خذ A=[[2,1],[0,1]]. ضربها في (x,y) كمتجه عمودي يعطي T(x,y)=(2x+y,y). هذا التحويل يحقق T(u+v)=T(u)+T(v) و T(cu)=cT(u)، وهما خاصيتا التحويل الخطي. ^[3]

تتحول النقطة (1,0) إلى (2,0)، والنقطة (0,1) إلى (1,1). لذلك يتحول مربع الوحدة ذو الرؤوس (0,0)،(1,0)،(1,1)،(0,1) إلى متوازي أضلاع رؤوسه (0,0)،(2,0)،(3,1)،(1,1).

مساحة المربع 1، ومساحة صورته 2×1=2. ونجد محدد A من 2×1−1×0=2؛ قيمته المطلقة تمثل عامل تغير المساحة في هذا التحويل للمستوى. الرسم يقارن الشكلين على المقياس نفسه حتى يكون الفرق الهندسي مفهومًا. ^[5]

إذا أضفنا إزاحة ثابتة، مثل S(x,y)=(x+1,y)، فإن S(0,0)=(1,0)، فلا يكون S تحويلًا خطيًا بالمعنى المستخدم هنا. كل تحويل خطي يرسل المتجه الصفري إلى نفسه؛ مرور الصفر اختبار أول مفيد، لكنه وحده لا يثبت الخطية. ^[3]

لماذا لا نبدل ترتيب ضرب المصفوفات؟

عرّف أيضًا B=[[1,0],[1,1]]. بطريقة ضرب الصف في العمود نحصل على AB=[[3,1],[1,1]]، بينما BA=[[2,1],[2,2]]. الناتجان مختلفان، لذلك ضرب المصفوفات ليس تبديليًا عمومًا. ^[4]

لفهم الفرق دون حفظ الأرقام، خذ u=(1,0) متجهًا عموديًا. في ABu نطبق B أولًا: Bu=(1,1)، ثم A: A(Bu)=(3,1). في BAu نطبق A أولًا: Au=(2,0)، ثم B: B(Au)=(2,2).

من المهم أيضًا أن يكون عدد أعمدة المصفوفة الأولى مساويًا لعدد صفوف الثانية حتى يكون حاصل الضرب معرفًا. وإذا كانت الأولى من النوع m×n والثانية من النوع n×p، كان الناتج من النوع m×p. ^[4]

طريقة مناسبة لبدء التعلم

• تدرب على جمع المركبات والضرب في عدد مع الاحتفاظ بالترتيب.
• اقرأ أبعاد المصفوفة قبل إجراء أي حاصل ضرب.
• اربط أعمدة مصفوفة التحويل بصور متجهي الوحدة.
• تحقق من النتيجة بالتعويض في النظام الأصلي أو بتطبيق التحويل على متجه معلوم.
• ميز بين تعريف الفضاء المتجهي واختبارات الفضاء الجزئي داخل فضاء معروف.

الجبر الخطي أوسع من هذه الأمثلة، لكن العلاقات التي ظهرت هنا مهمة: المتجه يمثل المدخل، والمصفوفة تمثل تحويلًا أو معاملات، وحاصل الضرب يصف أثر تطبيقها. إتقان هذه الصلة يجعل الانتقال إلى أنظمة أكبر ومفاهيم مثل الأساس والبعد أكثر وضوحًا.