استخدامات الإحداثيات القطبية تظهر عندما يكون وصف موضع نقطة بالمسافة والزاوية أسهل من وصفه بإزاحتين أفقيّة ورأسيّة. نحدد نقطة مرجعية واتجاهًا للزاوية، ثم نكتب (r,θ). الرادار والرسم الهندسي مثالان واضحان، لكن قيمة نصف القطر قد تمثل حساسية في مخطط صوتي بدل أن تمثل مسافة مكانية؛ قراءة معنى المحاور ضرورية. [1][2][3][4]
ما الذي تقوله المسافة والزاوية؟
في المستوى القطبي نختار أصلًا وخطًا مرجعيًا. سنأخذ r مسافة غير سالبة، ونقيس θ من المحور الأفقي الموجب عكس عقارب الساعة. النقطة (4,30°) تبعد 4 وحدات عن الأصل؛ لا تعني أنها تتقدم 4 أفقيًا و 30 رأسيًا. [1]
يمكن كتابة الاتجاه نفسه بزوايا تختلف بدورة كاملة؛ 30° و 390° يصلان إلى الشعاع نفسه. وعند r = 0 نحصل على الأصل أيًا كانت الزاوية. توجد أيضًا اصطلاحات تستعمل نصف قطر سالبًا، لكن الأمثلة هنا تلتزم بالمسافة غير السالبة. [1]
قبل استخدام أي مخطط نبحث عن وحدة r، وموضع الصفر الزاوي، واتجاه ازدياد الزوايا. تغيير الاصطلاح دون تحويل مناسب قد يضع النقطة في جهة أخرى، ولو بقي الرقم مكتوبًا كما هو. [1][3]
الرادار: مدى واتجاه
عرض الموقع الأفقي في الرادار يمكن تنظيمه حول موقع الجهاز: البعد من المركز يمثل المدى، والاتجاه الزاوي يحدد موضع الهدف حوله. توضح المادة التدريبية لهيئة الأرصاد هذا المبدأ في عرض الموقع الأفقي PPI. وهو وصف لتمثيل البيانات، لا شرط أن تكون كل شاشة حديثة دائرية أو أن تستعمل أنبوبًا قديمًا. [2]
نفترض هدفًا في رسم تعليمي، على بعد 4 كم وفي اتجاه 30 درجة شمال الشرق. نختار الشرق موجب x والشمال موجب y، فتصبح الإحداثيات الرياضية (r,θ) = (4,30°). عند التحويل: x = 4 cos30° = 2√3 ≈ 3.464 كم، و y = 4 sin30° = 2 كم. [1]
إذا استعمل المخطط سمتًا يقاس من الشمال مع عقارب الساعة، يكون الاتجاه نفسه 60 درجة. في هذا الاصطلاح يمكن حساب الشرق من r sinα والشمال من r cosα؛ عند α = 60° نحصل على النتيجتين نفسيهما. هذا فرق في نقطة بدء الزاوية واتجاه قياسها، وليس تغيرًا في موضع الهدف.
الرسم مسقط مستوٍ مبسط. ارتفاع الهدف والمسافة المائلة وانحناء الأرض ومعلومات أجهزة الرصد مسائل إضافية؛ لا تكفي إحداثيات مستوية باثنين من الأرقام لتقرير كل خصائص هدف ثلاثي الأبعاد. [2]
الرسم الهندسي: مطلق أم نسبي؟
توضح وثائق AutoCAD إدخال نقطة بالمسافة والزاوية. الإحداثيات المطلقة تقاس من أصل نظام الإحداثيات، بينما النسبية تبدأ من آخر نقطة أُدخلت. يستخدم الرمز @ لتمييز الصيغة النسبية، مع فصل المسافة والزاوية بعلامة <. ويمكن تغيير اصطلاح الزوايا في إعدادات الرسم. [3]
في مثال رياضي أصلي نبدأ من P = (2,1) ونرسم خطًا طوله 6 وحدات بزاوية 30 درجة من الاتجاه الأفقي الموجب. الإزاحة هي Δx = 6 cos30° = 3√3 و Δy = 6 sin30° = 3. لذلك النهاية Q = (2 + 3√3,4) ≈ (7.196,4).
الصيغة النسبية الموافقة، مع الإعدادات الزاوية المفترضة، هي @6<30. إذا عاملنا 6 و 30 إحداثيين مطلقين بدل إزاحة من P سنرسم موضعًا مختلفًا. طول الخط ليس الإحداثي الأفقي للنهاية، والزاوية ليست الإحداثي الرأسي. [3]
الحركة الدائرية: نصف قطر ثابت وزاوية متغيرة
عندما تتحرك نقطة على دائرة مركزها الأصل، يبقى بعدها r ثابتًا بينما تتغير θ. يمكن كتابة x = r cosθ و y = r sinθ. وفي حركة دائرية منتظمة تبدأ من اتجاه x الموجب، يكون θ = ωt إذا كانت السرعة الزاوية ω ثابتة والزوايا بالراديان. [5]
لنقطة تبعد 2 م عن المركز، يكون موضعها عند 60 درجة (x,y) = (1,√3) مترًا. وبعد وصولها إلى 150 درجة يكون (−√3,1) مترًا. في الحالتين x² + y² = 4؛ تغير الموضع مع بقاء نصف القطر 2 م.
يمكن استخدام الوصف نفسه في رسم حركة نقطة أو نهاية ذراع يدور حول محور ثابت. هذا مثال هندسي على فائدة الإحداثيات، وليس وصفًا كافيًا لكل حركة روبوت: نظام متعدد المفاصل أو حركة في الفراغ يحتاج متغيرات وعلاقات أخرى. [5]
الميكروفون: نصف القطر لا يعني مسافة هنا
في المخطط القطبي للميكروفون تمثل الزاوية جهة وصول الصوت، ويمثل البعد الشعاعي حساسية الميكروفون بحسب مقياس المخطط. يحدد محور الصفر عادة جهة المقدمة. قد يبدو الرسم شبيهًا بخريطة مدى، لكنه لا يعرض مسافة مصدر الصوت بالكيلومترات أو الأمتار. [4]
الميكروفون متعدد الاتجاهات يستجيب من مختلف الجهات، بينما يميز النمط القلبي المقدمة ويقلل الاستجابة من الخلف وفق نمطه. وقد تختلف الاستجابة مع التردد؛ لذلك نقرأ المنحنى ووحدة مقياسه والتردد المرتبط به بدل اعتبار الصورة شكل منطقة لا يلتقط الصوت خارجها إطلاقًا. [4]
التحويل وفحص النتيجة
من القطبي إلى الديكارتي نستخدم x = r cosθ و y = r sinθ. وفي الاتجاه المعاكس r = √(x² + y²)، ونختار الزاوية بما يناسب إشارات x و y والربع. معرفة tanθ = y/x وحدها لا تكفي دون تحديد الربع، كما أن القسمة لا تصلح عند x = 0. [1]
مثلًا النقطة (−3,−3) تبعد 3√2 عن الأصل وتقع في الربع الثالث؛ زاويتها الرياضية 225 درجة، أو −135°. إعطاء 45 درجة لأنها تحقق النسبة y/x = 1 يضعها في الربع الأول ويغير موضعها.
افحص ثلاثة أمور في كل تطبيق: الأصل المرجعي، واصطلاح الزاوية، والمعنى والوحدة التي يحملها المحور الشعاعي. بهذه الخطوات نستفيد من المسافة والاتجاه في الرادار والرسم، ونقرأ المخططات القطبية الأخرى دون خلط بين المسافة والحساسية أو بين الزاوية الرياضية والسمت.
المصادر ومتابعة القراءة
- OpenStax: تعريف الإحداثيات القطبية والتحويل والتعدد (يفتح في نافذة جديدة)openstax.org
- هيئة الأرصاد الأمريكية: عرض الموقع والمدى والاتجاه في الرادار (يفتح في نافذة جديدة)training.weather.gov
- Autodesk: الإحداثيات القطبية المطلقة والنسبية واتجاه الزوايا (يفتح في نافذة جديدة)help.autodesk.com
- Shure: معنى المخطط القطبي لحساسية الميكروفون (يفتح في نافذة جديدة)shure.com
- OpenStax: وصف الموضع في الحركة الدائرية (يفتح في نافذة جديدة)openstax.org
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.